Log nach x auflösen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Mi 12.12.2012 | | Autor: | Coup |
| Aufgabe | | $ln(x+a) = ln(x) + ln(2)$ |
Hallo.
Ich möchte diese Gleichung nach x aufösen.
Nur habe ich leider absolut keine Ahnung wie ich beginnen soll.
x=a wird das Ergebnis sein auf das ich leider nach vielen Versuchen nicht komme.
lg
Micha
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Hallo Coup,
> [mm]ln(x+a) = ln(x) + ln(2)[/mm]
> Hallo.
> Ich möchte diese Gleichung nach x aufösen.
> Nur habe ich leider absolut keine Ahnung wie ich beginnen
> soll.
> x=a wird das Ergebnis sein auf das ich leider nach vielen
> Versuchen nicht komme.
>
Wende auf beide Seiten der Gleichung die Umkehrfunktion des ln an.
Und poste dann Deine Rechenschritte.
>
> lg
> Micha
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 Mi 12.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]ln(x+a) = ln(x) + ln(2)[/mm]
> Hallo.
> Ich möchte diese Gleichung nach x aufösen.
> Nur habe ich leider absolut keine Ahnung wie ich beginnen
> soll.
> x=a
mit der Zusatzbedingzung $x=a > [mm] 0\,$!
[/mm]
(Oben sollte man bei der Gleichung noch $x > [mm] 0\,$ [/mm] und $x+a > [mm] 0\,$ [/mm] fordern,
denn andernfalls darf man diese Gleichung ja gar nicht hinschreiben...)
> wird das Ergebnis sein auf das ich leider nach vielen
> Versuchen nicht komme.
Neben allem bisher genannten:
Es gilt ja auch [mm] $\ln(a/b)=\ln(a)-\ln(b)$ [/mm] für alle $a,b > [mm] 0\,.$
[/mm]
Daher:
[mm] $$\ln(x+a)=\ln(x)+\ln(2)$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \ln(x+a)-\ln(x)=\ln(2)$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \ln\left(\frac{x+a}{x}\right)=\ln(2)\,.$$
[/mm]
Auch das führt zum Ziel: Wie geht's nun weiter?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Mi 12.12.2012 | | Autor: | Coup |
$ln(x+a) = ln(x) + ln(2)$
<=>
[mm] $ln(\bruch{x+a}{x}) [/mm] = ln(2)$
Kann ich nun so den ln eliminieren ?
Wenn ja, dann
[mm] $\bruch{x+a}{x} [/mm] = 2 $
= $x+a = 2x $ | -x
$a=x$
lg
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Hallo,
> [mm]ln(x+a) = ln(x) + ln(2)[/mm]
> <=>
> [mm]ln(\bruch{x+a}{x}) = ln(2)[/mm]
> Kann ich nun so den ln
> eliminieren ?
Nun, elemniert hast du hier noch nichts, aber es ist richtig (wenn auch etwas umständlich).
> Wenn ja, dann
>
> [mm]\bruch{x+a}{x} = 2[/mm]
>
> = [mm]x+a = 2x[/mm] | -x
>
> [mm]a=x[/mm]
Ist nicht die LÖsung nach x gefragt? Dann schreibe besser
x=a
Denn: auch so etwas lesen andere von links nach rechts, das macht einfach mehr Sinn.
Hier mal meine Version der Rechnung:
ln(x+a)=ln(x)+ln(2)=ln(2x) <=>
x+a=2x =>
x=a
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:40 Mi 12.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
> Hallo,
>
> > [mm]ln(x+a) = ln(x) + ln(2)[/mm]
> > <=>
> > [mm]ln(\bruch{x+a}{x}) = ln(2)[/mm]
> > Kann ich nun so den ln
> > eliminieren ?
>
> Nun, elemniert hast du hier noch nichts, aber es ist
> richtig (wenn auch etwas umständlich).
naja, eigentlich nicht wirklich viel umständlicher - aber es wirkt so, das
gebe ich zu. Übrigens habe ich ihn ja darauf hingewiesen, dass er auch
[mm] $\ln(a)-\ln(b)=\ln(a/b)$ [/mm] für $a,b > [mm] 0\,$ [/mm] verwenden kann.  (Aber Du hast
recht: Es ist wohl eher der 'uneleganteste' der hier vorgeschlagenen
Wege!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 Mi 12.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]ln(x+a) = ln(x) + ln(2)[/mm]
> <=>
> [mm]ln(\bruch{x+a}{x}) = ln(2)[/mm]
> Kann ich nun so den ln
> eliminieren ?
ja - formal reicht's dafür, zu wissen, dass der [mm] $\ln$ [/mm] injektiv ist: Für alle $r,s > [mm] 0\,$ [/mm] gilt:
Aus [mm] $\ln(r)=\ln(s)\,$ [/mm] folgt [mm] $r=s\,.$ [/mm] (Die Umkehrung: Aus [mm] $r=s\,$ [/mm] folgt
[mm] $\ln(r)=\ln(s)$ [/mm] ist klar, weil [mm] $\ln\,$ [/mm] eine Funktion ist!)
Eine vielleicht schulgerechtere Alternative:
Du kannst auf [mm] $\ln(r)=\ln(s)$ [/mm] einfach [mm] $\exp\,$ [/mm] anwenden und erhältst
[mm] $$\exp(\ln(r))=\exp(\ln(s))\,,$$
[/mm]
also [mm] $r=s\,.$
[/mm]
> Wenn ja, dann
>
> [mm]\bruch{x+a}{x} = 2[/mm]
>
> = [mm]x+a = 2x[/mm] | -x
>
> [mm]a=x[/mm]
[mm] $x=a\,$ [/mm] oder [mm] $a=x\,,$ [/mm] eigentlich ist das egal - aber wie schon gesagt
wurde:
[mm] $x=a\,$ [/mm] macht hier mehr Sinn. (Du mußt ja auch bedenken, dass [mm] $a\,$ [/mm] hier
sowas wie ein Parameter ist und man die Lösung der Gleichung in der
Variablen [mm] $x\,$ [/mm] such!)
Gruß,
Marcel
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Logarithmusgesetz