Lösungsweg bei Integration < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Mi 30.12.2009 | | Autor: | deadlift |
Hallo,
mich würde interessieren, wie man ohne Tabelle folgende Funktionen integrieren kann.
1. Bsp: [mm] $f(x)=\bruch{1}{x^{2}-2x}$
[/mm]
2. Bsp: [mm] $f(x)=\bruch{2-x}{\wurzel{x}+1}$
[/mm]
Aus Tabellen ablesen bzw. Matlab zu bedienen ist brotlose Kunst.
Vielen Dank und allen einen guten Rutsch!
deadlift
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Mi 30.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo deadlift!
> 1. Bsp: [mm]f(x)=\bruch{1}{x^{2}-2x}[/mm]
Hier ist zunächst eine  Partialbruchzerlegung vonnöten:
[mm] $$\bruch{1}{x^2-2x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x*(x-2)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{x}+\bruch{B}{x-2}$$
[/mm]
Nach Bestimmung der beiden Koeffizienten $A_$ und $B_$ können beide Brüche separat integriert werden.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:21 Mi 30.12.2009 | | Autor: | deadlift |
Ach Gott, wie konnte ich das nur übersehen:
Ja dann werden die Partialbrüche zu [mm] $\bruch{-1}{2x}$ [/mm] und [mm] $\bruch{1}{2x-4}$. [/mm] Alles weitere stellt kein Problem dar.
Bei Bsp. 2 habe ich zunächst eine Polynomdivision durchgeführt und folgendes erhalten: [mm] $f(x)=-\wurzel{x}+1+\bruch{1}{\wurzel{x}+1}$
[/mm]
Bis auf den dritten Summanden ist die Integration wieder nicht schwer.Ich bin mir nicht sicher, ob folgender Lösungsweg korrekt ist:
Substitution:
[mm] $\wurzel{x}+1=:u$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\bruch{du}{dx}=\bruch{1}{2\wurzel{x}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow\integral_{}^{}{\bruch{1}{\wurzel{x}+1} dx}=2*\integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{x}}{u} du}
[/mm]
Und jetzt bin ich mir nicht sicher, ob ich aus meiner Susbtitution [mm] $\wurzel{x}+1=:u$ [/mm] nach [mm] \wurzel{x} [/mm] umstellen darf, um folgendes zu erhalten:
[mm] $2*\integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{x}}{u} du}=2*\integral_{}^{}{\bruch{u-1}{u} du}$
[/mm]
Ist der Schritt konform?
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Hallo deadlift,
> Und jetzt bin ich mir nicht sicher, ob ich aus meiner
> Susbtitution [mm]\wurzel{x}+1=:u[/mm] nach [mm]\wurzel{x}[/mm] umstellen
> darf, um folgendes zu erhalten:
>
> [mm]2*\integral_{}^{}{\bruch{\wurzel{x}}{u} du}=2*\integral_{}^{}{\bruch{u-1}{u} du}[/mm]
>
> Ist der Schritt konform?
Ich habe jetzt nicht nachgerechnet, ob deine vorherigen Rechnungen stimmen (wird aber so sein  ), der Schritt ist auf jeden Fall konform und auch notwendig, weil dein Integral ja nur aus u's bestehen darf.
Du darfst das machen, was du machst, weil du doch einfach [mm]\wurzel{x}+1=:u[/mm] setzt, das ist dasselbe, als würdest du postulieren: x hat die Form [mm]x:=(u-1)^{2}[/mm]. Ja, du siehst, das scheint auf den ersten Blick problematisch zu sein, weil x ja so nicht alle Werte annehmen kann (es darf nur größergleich 0 sein), aber das ist ja schon in der Ausgangsfunktion offensichtlich notwendig, damit diese definiert ist.
Grüße,
Stefan
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Hallo deadlift,
bei Beispiel 2 schlage ich eine Substitution $u = [mm] \sqrt{x}$ [/mm] vor. Dann noch eine kleine Polynomdivision hinterher, und du hast es mit einer leicht integrierbaren Funktion zu tun.
(Rücksubstitution nicht vergessen !)
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:29 Mi 30.12.2009 | | Autor: | deadlift |
Kann jemand schauen, ob meine Idee in meiner Mitteilung korrekt ist?
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