Lösungsraum = Spaltentraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:42 Di 09.10.2007 | | Autor: | twoways |
| Aufgabe | | Gesucht Matrix H über [mm] \IZ_{2}, [/mm] für die [mm] \IL(H) [/mm] = SR(G) gilt. |
Ich habe mir dazu mal meine Gedanken gemacht, es ist eine Matrix G gegeben, und nun suche ich ein H. G ist eine 5x3-Matrix. Der Rang der Matrix G ist 3.
Über die Dimension des [mm] \IL(H) [/mm] weiß ich dann, dass dieser 5-3=2 ist.
Wie komme ich auf die Idee, dass folgendes gilt:
[mm] \IL(G^{t}) [/mm] = [mm] SR(H^{t})
[/mm]
Danke
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> Gesucht Matrix H über [mm]\IZ_{2},[/mm] für die [mm]\IL(H)[/mm] = SR(G)
> gilt.
> Ich habe mir dazu mal meine Gedanken gemacht, es ist eine
> Matrix G gegeben, und nun suche ich ein H. G ist eine
> 5x3-Matrix. Der Rang der Matrix G ist 3.
Hallo,
vielleicht mußt Du das für Nicht-Insider mal erklären.
Was ist [mm] \IL(H)? [/mm] Der Kern von H?
Und SR(G)? Das Bild von G?
(EDIT: Wenn ich mir die Überschrift anschaue, komme ich zu dem Entschluß, daß es so ist.)
Und G? Hast Du da konkret etwas gegeben?
Schreib doch mal die Aufgabe komplett auf.
Gruß v., Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:42 Mi 10.10.2007 | | Autor: | twoways |
Nachtrag:
[mm] \IL [/mm] ist der Lösungsraum
SR ist der Spalten Raum
Und G ist eine Matrix über [mm] \IZ_{2} [/mm] mit
G= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 }
[/mm]
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> Gesucht Matrix H über [mm]\IZ_{2},[/mm] für die [mm]\IL(H)[/mm] = SR(G)
> gilt.
> G= $ [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 } [/mm] $
> G ist eine
> 5x3-Matrix. Der Rang der Matrix G ist 3.
>
> Über die Dimension des [mm]\IL(H)[/mm] weiß ich dann, dass dieser
> 5-3=2 ist.
Hallo,
nennen wir die Spaltenvektoren mal [mm] v_1, v_2, v_3.
[/mm]
Der Rang von G ist 3, also sind diese Vektoren unabhängig.
Du kannst sie durch zwei Vektoren [mm] v_4, v_5 [/mm] zu einer Basis B des [mm] \IZ_2^5 [/mm] ergänzen, welche Vektoren Du nehmen kannst, mußt Du herausfinden.
Du suchst nun eine Matrix H mit folgender Eigenschaft:
[mm] Hv_i=0 [/mm] für i=1,2,3 und [mm] Hv_4\not=0 [/mm] und [mm] Hv_5\not=0.
[/mm]
Wenn Du das erreichst, ist ja der Lösungsraum von H gerade der Kern von G.
Nun kannst Du Dir ja eine lineare Abbildung l: [mm] \IZ_2^5 \to \IZ_2^5 [/mm] basteln, welche das Gewünschte für Dich tut.
Bedenke, daß lineare Abbildungen eindeutig durch ihre Werte auf einer Basis beschrieben sind.
Stelle anschließend die darstellende Matrix H' bzgl. V auf.
Mit einer Basistransformation findest Du die Matrix H der Abbildung bzgl der Standardbasis, die Matrix, die Du suchst.
Gruß v. Angela
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