Lösungsmenge mit Gaußschen Alg < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallöchen,
Wenn du das LGS mit dem Gaußalgorithmus löst kommst müsste dir auffallen, dass eine Zeile doppelt vorkommt, bei mir zB.:
[mm] 1x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] 3x_{3} [/mm] = 2
[mm] 1x_{2} [/mm] - [mm] 4x_{3} [/mm] = -2
[mm] 1x_{2} [/mm] - [mm] 4x_{3} [/mm] = -2
Das heißt, dass du keine eindeutige Lösung erhälst, sondern in diesem Fall unendlich viele Lösungen! Wenn man nun weiter umformt, erhält man:
[mm] 1x_{1} [/mm] + [mm] 11x_{3} [/mm] = 6
[mm] 1x_{2} [/mm] - [mm] 4x_{3} [/mm] = -2
0 = 0
Das heißt nun, dass für jede Lösung des LGS die folgenden Bedingungen gelten müssen:
[mm] x_{1} [/mm] = 6 - [mm] 11x_{3} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] = -2 + [mm] 4x_{3}
[/mm]
Veranschaulichen kann man dies durch den Lösungsvektor:
x = [mm] \vektor{6 - 11x_{3} \\ -2 + 4x_{3} \\ x_{3}} [/mm] , wählt man nun [mm] \lambda [/mm] = [mm] x_{3} [/mm] so kann man den Lösungsvektor auch folgendermaßen schreiben:
x = [mm] \vektor{6 - 11\lambda \\ -2 + 4\lambda \\ \lambda} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ -2 \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{ -11\lambda \\ 4\lambda \\ \lambda} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ -2 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda\vektor{ -11 \\ 4 \\ 1} [/mm] , [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
Also ist die Lösungsmenge: [mm] \IL [/mm] = {x [mm] \in \IR^{3} [/mm] | x = [mm] \vektor{6 \\ -2 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda\vektor{ -11 \\ 4 \\ 1} [/mm] , [mm] \lambda \in \IR [/mm] }
Ich hoffe, dass deine Frage nun damit beantwortet ist!
LG Dante
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