Lösungsmenge eines LGS in PRF < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist das lineare Gleichungssystem
[m]
A * x = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 6 & 5 & 13 \\ -2 & -5 & -11 \\ \end{pmatrix} * x = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ \mu \end{pmatrix}
[/m]
Bestimmen Sie die Lösungsmenge in Abhängigkeit von [mm] \mu.
[/mm]
Falls diese nicht leer ist, geben Sie sie in Punkt-Richtung-Form an und deren geometrische Form. |
Hallo zusammen.
Hier meine Lösung:
Mithilfe des Gauß-Algorithmus bringe ich das Gleichungssystem auf Dreiecksform (rechts-obere Dreiecksmatrix).
Dann steht da:
[m]
A * \vec x = b \gdw \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} * \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ \mu + 5 \end{pmatrix}
[/m]
Das Gleichungssystem hat 3 Gleichungen und 4 Unbekannte, also ist es unterbestimmt und es gibt wahrscheinlich keine eindeutige Lösung.
Nun soll das Gleichungssystem in Abhängigkeit von [mm] \mu [/mm] gelöst werden:
Wenn [mm] \mu \not= [/mm] -5 dann besitzt das Gleichungssystem keine Lösung, denn dann entsteht eine Zeile, in der links vom Gleichheitszeichen eine Null steht und rechts eine Zahl ungleich Null, d.h. eine falsche Aussage.
Wenn [mm] \mu [/mm] = -5 besitzt, dann entsteht eine ganze Nullzeile und das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.
Man setzt [mm] \mu [/mm] = -5 und erhält:
[m]
A * \vec x = b \gdw \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} * \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}
[/m]
Kann man bei der letzten Zeile des Systems: [m]0*x_1 + 0*x_2 + 0_x_3 = 0[/m] das [mm] x_3 [/mm] bspw. als [m]x_3 = t[/m] [m](t \in \IR)[/m] deklarieren
und dann einfach wieder durch Rückwärtseinsetzen das System lösen?
Wenn das so zulässig ist, dann ist mein Lösungsvektor [m]\vec x := \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.5t \\ 1-2t \\ t \end{pmatrix}[/m] oder in Parameter-Form bzw. Punkt-Richtung-Form
(geometrisches Objekt ist eine Gerade):
[m] g: \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} -0.5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}[/m]
Ist das so korrekt?
Vielen Dank für eine Antwort!
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Hallo,
> Gegeben ist das lineare Gleichungssystem
>
> [mm][/img]
>
> Bestimmen Sie die Lösungsmenge in Abhängigkeit von [mm]\mu.[/mm]
> Falls diese nicht leer ist, geben Sie sie in
> Punkt-Richtung-Form an und deren geometrische Form.
> Hallo zusammen.
>
> Hier meine Lösung:
> Mithilfe des Gauß-Algorithmus bringe ich das
> Gleichungssystem auf Dreiecksform (rechts-obere
> Dreiecksmatrix).
> Dann steht da:
>
> [mm][/img]
>
Soweit ist das richtig (wobei da oben wegen technischer Probleme die Matrix fehlt, aber sie steht ja in deiner Frage).
> Das Gleichungssystem hat 3 Gleichungen und 4 Unbekannte,
> also ist es unterbestimmt und es gibt wahrscheinlich keine
> eindeutige Lösung.
Nein, das siehst du falsch. Es ist ein 3x3-LGS und [mm] \mu [/mm] wird hier eher als Parameter gesehen. Sicher, man kann es auch so auffsssen wie du es getan hast, aber das ist m.A. nicht im Sinne der Aufgabenstellung.
> Nun soll das Gleichungssystem in Abhängigkeit von [mm]\mu[/mm]
> gelöst werden:
>
> Wenn [mm]\mu \not=[/mm] -5 dann besitzt das Gleichungssystem keine
> Lösung, denn dann entsteht eine Zeile, in der links vom
> Gleichheitszeichen eine Null steht und rechts eine Zahl
> ungleich Null, d.h. eine falsche Aussage.
Das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wenn [mm]\mu[/mm] = -5 besitzt, dann entsteht eine ganze Nullzeile
> und das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.
>
> Man setzt [mm]\mu[/mm] = -5 und erhält:
>
> [mm][/img]
>
> Kann man bei der letzten Zeile des Systems: [mm]0*x_1 + 0*x_2 + 0_x_3 = 0[/mm]
> das [mm]x_3[/mm] bspw. als [mm]x_3 = t[/mm] [mm](t \in \IR)[/mm] deklarieren
> und dann einfach wieder durch Rückwärtseinsetzen das
> System lösen?
>
> Wenn das so zulässig ist, dann ist mein Lösungsvektor
> [mm]\vec x := \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.5t \\ 1-2t \\ t \end{pmatrix}[/mm]
> oder in Parameter-Form bzw. Punkt-Richtung-Form
> (geometrisches Objekt ist eine Gerade):
>
> [mm]g: \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} -0.5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Ist das so korrekt?
Ich weiß nicht, ob du dich da nicht einfach vertippt hast. Ich erhalte nämlich (auche auch auf die Schreibweise!):
g: [mm] \vec{x}=\vektor{0\\1\\0}+t*\vektor{-1/2\\-2\\1}
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 Sa 05.07.2014 | | Autor: | gummibaum |
Hi. Ich habe mich tatsächlich vertippt! ;)
Vielen Dank, dann weiß ich Bescheid...
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