Lösungsmenge Matrix mit Vektor < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Do 15.04.2010 | | Autor: | Lejia |
| Aufgabe | Gegeben seien die folgende Matrix A und der folgende Vektor ~b.
Matrix A:
[mm] \vektor{1 & 1 & 1 \\ 2 & 6 & 4 \\ 1 & 5 & 3}
[/mm]
Vektor b:
[mm] \vektor{1 \\ 4 \\ 3}
[/mm]
a) Geben Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems Ax =b an! |
Ja wie löse ich das?
Ich habe versucht es gleichzusetzen und zu lösen sprich:
_x1 + _x2 + _x3 = 1 ______|*(-1) mit 3. Zeile addiert
2x1 + 6x2 + 4x3 = 4
_x1 + 5x2 + 3x3 = 3 ______|*(-2) mit 2. Zeile addiert
_4x2 + 2x2 = 2
-4x2 - 2x2 = -2
Und da ist mein Problem,das löst sich ja nun auf?! Also ist mein Ansatz falsch oder? Wie kann ich es lösen?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=416232&page=4
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Do 15.04.2010 | | Autor: | Fawkes |
Hi,
mach es am besten mit Gauß:
zu lösen: Ax=b
[mm] \vektor{1 & 1 & 1 & |1 \\ 2 & 6 & 4 & |4 \\ 1 & 5 & 3 & |3}
[/mm]
das Ziel besteht darin dieses GLS auf Zeilenstufenform zu bringen. So sollte es dann hinterher ausschauen:
[mm] \vektor{1 & 0 & 0 & |a \\ 0 & 1 & 0 & |b \\ 0 & 0 & 1 & |c}
[/mm]
Zur Lösung:
[mm] \vektor{1 & 1 & 1 & |1 \\ 2 & 6 & 4 & |4 \\ 1 & 5 & 3 & |3}
[/mm]
2.Zeile- 2*1.Zeile und 3.Zeile-1.Zeile
[mm] \gdw \vektor{1 & 1 & 1 & |1 \\ 0 & 4 & 2 & |2 \\ 0 & 4 & 2 & |2}
[/mm]
3.Zeile-2.Zeile
[mm] \gdw \vektor{1 & 1 & 1 & |1 \\ 0 & 4 & 2 & |2 \\ 0 & 0 & 0 & |0}
[/mm]
Hieraus folgt: GLS hat unendlich viele Lösungen, daraus folgt: eine Variable frei wählbar. Wähle [mm] x_3=a [/mm] dann folgt was aus den anderen beiden Gleichungen?
Gruß Fawkes
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Do 15.04.2010 | | Autor: | Lejia |
Setze ich das x3=a in die 3. oder 4. Spalte?
$ [mm] \gdw \vektor{1 & 1 & 1 & |1 \\ 0 & 4 & 2 & |2 \\ 0 & 0 & a & |0} [/mm] $ oder
$ [mm] \gdw \vektor{1 & 1 & 1 & |1 \\ 0 & 4 & 2 & |2 \\ 0 & 0 & 0 & |a} [/mm] $ ?
Verstehe nicht wie ich da auf die Form
$ [mm] \vektor{1 & 0 & 0 & |a \\ 0 & 1 & 0 & |b \\ 0 & 0 & 1 & |c} [/mm] $ kommen kann?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Do 15.04.2010 | | Autor: | Lejia |
Setze ich das x3=a in die 3. oder 4. Spalte?
$ [mm] \gdw \vektor{1 & 1 & 1 & |1 \\ 0 & 4 & 2 & |2 \\ 0 & 0 & a & |0} [/mm] $ oder
$ [mm] \gdw \vektor{1 & 1 & 1 & |1 \\ 0 & 4 & 2 & |2 \\ 0 & 0 & 0 & |a} [/mm] $ ?
Verstehe nicht wie ich da auf die Form
$ [mm] \vektor{1 & 0 & 0 & |a \\ 0 & 1 & 0 & |b \\ 0 & 0 & 1 & |c} [/mm] $ kommen kann?
Bin ein wenig überfordert mit dem Forum,sind meine Posts sofort sichtbar?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Do 15.04.2010 | | Autor: | Fawkes |
> Setze ich das x3=a in die 3. oder 4. Spalte?
>
> [mm]\gdw \vektor{1 & 1 & 1 & |1 \\ 0 & 4 & 2 & |2 \\ 0 & 0 & a & |0}[/mm]
> oder
>
> [mm]\gdw \vektor{1 & 1 & 1 & |1 \\ 0 & 4 & 2 & |2 \\ 0 & 0 & 0 & |a}[/mm]
> ?
>
> Verstehe nicht wie ich da auf die Form
>
> [mm]\vektor{1 & 0 & 0 & |a \\ 0 & 1 & 0 & |b \\ 0 & 0 & 1 & |c}[/mm]
> kommen kann?
>
> Bin ein wenig überfordert mit dem Forum,sind meine Posts
> sofort sichtbar?!
Hi,
nein deine Posts sind erst sichtbar wenn du unten auf den Button "senden" drückst. Drückst du jedoch zuvor auf "vorschau" hast du die Möglichkeit deinen Beitrag selbst noch einmal durchzuschauen bevor du ihn abesendest.
Gruß Fawkes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Do 15.04.2010 | | Autor: | Fawkes |
Hi,
> Setze ich das x3=a in die 3. oder 4. Spalte?
in die 4. Spalte setzt du das a!
> [mm]\gdw \vektor{1 & 1 & 1 & |1 \\ 0 & 4 & 2 & |2 \\ 0 & 0 & a & |0}[/mm]
> oder
>
> [mm]\gdw \vektor{1 & 1 & 1 & |1 \\ 0 & 4 & 2 & |2 \\ 0 & 0 & 0 & |a}[/mm]
> ?
nein daraus folgt das hier:
[mm] \vektor{1 & 1 & 1 & |1 \\ 0 & 4 & 2 & |2 \\ 0 & 0 & 1 & |a}
[/mm]
> Verstehe nicht wie ich da auf die Form
>
> [mm]\vektor{1 & 0 & 0 & |a \\ 0 & 1 & 0 & |b \\ 0 & 0 & 1 & |c}[/mm]
> kommen kann?
jetzt folgt aus der ersten Zeile [mm] x_1+x_2+x_3=1
[/mm]
aus der zweiten folgt [mm] 4x_2+2x_3=2
[/mm]
und aus der 3ten [mm] x_3=a [/mm] (eigentlich folgt aus der 3ten [mm] 0x_1+0x_2+0x_3=0 [/mm] das ist jedoch immer wahr und damit ist in diesem Fall [mm] x_3 [/mm] frei wählbar)
setze jetzt in die erste Gleichung und zweite Gleichung [mm] x_3=a [/mm] ein und schon hast du die Lösung.
Gruß Fawkes
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Do 15.04.2010 | | Autor: | Lejia |
Okay,
dann steht da:
x1 + x2 + a = 1____|*(-4) zu 2. Zeile addiert
___4x2 +2a= 2
->
x1 = 0,5 - 0,5a
x2 = 0,5 - 0,5a
x3 = a
Was sagt mir das nun?
Als Musterlösung kommt raus: [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ -1} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ -2}
[/mm]
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Hallo Lejia,
> Okay,
>
> dann steht da:
>
> x1 + x2 + a = 1____|*(-4) zu 2. Zeile addiert
> ___4x2 +2a= 2
>
> ->
> x1 = 0,5 - 0,5a
> x2 = 0,5 - 0,5a
> x3 = a
>
> Was sagt mir das nun?
Das sagt Dir , daß dies ein ein eindimensionaler Unterraum
des [mm]\IR3}[/mm], also eine Gerade ist.
>
> Als Musterlösung kommt raus: [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ -1}[/mm] +
> [mm]\lambda \vektor{1 \\ 1 \\ -2}[/mm]
>
Wie Du leicht verifizieren kannst, stimmen Deine
Lösung und die Musterlösung überein.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Do 15.04.2010 | | Autor: | Lejia |
Ja mir ist dennoch etwas unklar,könnte ich für meine Lösung jede beliebige Zahl a verwenden?
$ [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ -1} [/mm] $ Hier wurde quasi -1 für das a gewählt,könnte ich dafür aber auch eine 2 oder 542 nehmen und die entsprechenden x1,x2 Werte ausrechnen?
Meine zweite Frage,wie komme ich von meinem Lösungsvektor auf das + $ [mm] \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ -2} [/mm] $ ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Do 15.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo Leija
Du hattest als Lösung
[mm] \vektor{0.5-0.5a\\0.5-0.5a\\a}
[/mm]
dann wäre das einfachst zu schreiben
[mm] \vektor{0.5-0.5a\\0.5-0.5a\\a}=\vektor{0.5\\0.5\\0}+a*\vektor{-0.5\\-0.5\1}
[/mm]
damit hättest du deine Aufgabe richtig gelöst.
Wenn man gern ganze Zahlen hat nimmt man erst mal statt a [mm] -2*\lambda
[/mm]
dann hat man
[mm] \vektor{0.5\\0.5\\0}+\lambda *\vektor{1\\1\-2}
[/mm]
wenn man auch vorne noch ganze Zahlen haben will, kann man ein beliebiges Vielfaches (positiv oder negativ) des hinteren dazuzählen, denn [mm] \lambda [/mm] kann ja jede beliebige Zahl sein. also kannst du auch vorne statt der 0 ne 1 oder -1 hinkriegen, oder deine 542!
jezt klar?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:09 Fr 16.04.2010 | | Autor: | Fawkes |
> Hallo Leija
> Du hattest als Lösung
> [mm]\vektor{0.5-0.5a\\0.5-0.5a\\a}[/mm]
> dann wäre das einfachst zu schreiben
> [mm]\vektor{0.5-0.5a\\0.5-0.5a\\a}=\vektor{0.5\\0.5\\0}+a*\vektor{-0.5\\-0.5\\1}[/mm]
> damit hättest du deine Aufgabe richtig gelöst.
> Wenn man gern ganze Zahlen hat nimmt man erst mal statt a
> [mm]-2*\lambda[/mm]
> dann hat man
> [mm]\vektor{0.5\\0.5\\0}+\lambda *\vektor{1\\1\\-2}[/mm]
> wenn man
> auch vorne noch ganze Zahlen haben will, kann man ein
> beliebiges Vielfaches (positiv oder negativ) des hinteren
> dazuzählen, denn [mm]\lambda[/mm] kann ja jede beliebige Zahl sein.
> also kannst du auch vorne statt der 0 ne 1 oder -1
> hinkriegen, oder deine 542!
> jezt klar?
> Gruss leduart
Hi,
hab mal eben die Tippfehler korrigiert.
Gruß Fawkes
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