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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 So 24.09.2006 | | Autor: | FlorianJ |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösungsmenge:
[mm] $(z^4-a)(z^2-2) [/mm] = 0 $ |
Schönen Sonntag Nachmittag zusammen!
Bei folgendem Aufgabentyp habe ich die Schwierigkeit, dass mir noch
nicht ganz klar ist, was das Ziel ist.
Die Lösungsmenge eine komplexen Zahlen müssen doch Real und Imaginärteil beinhalten. Suche danach nun getrennt oder geht es ohnhin nur
mit n verschiedenen Lösungen (hier zB max. 6 Lösungen).
Um die oben angegebene Aufgabe zu lösen, gehe ich also wie folgt vor:
[mm] $z^4-a [/mm] = 0 $ und $ [mm] z^2-2 [/mm] =0 $
nun kann ich z= a+jb einsetzen und rechnen oder [mm] z^4 [/mm] zu [mm] r^4*e^{4*j\phi} [/mm] umschreiben. r = |z| = [mm] \wurzel{a^2+b^2} [/mm] => [mm] (a^2+b^2)^2*e^{4*j\phi}
[/mm]
wie ich da nun ein a abziehe ist mir ein wenig schleierhaft.
bringt es was die wurzeln zu ziehen?
zum zweiten teil: [mm] z^2-2 [/mm] = 0!
[mm] a^2+2abj-b^2 [/mm] -2= 0
=> [mm] a^2-b^2-2 [/mm] = 2abj
verwende ich nun hier die pq formel und bestimme zunächst a?
ihr seht: leider sind viele fragen bei mir offen. bitte um hilfe :)
danke, flo
habe die frage(n) nur hier gestellt
edit: kann mein problem glaube ich noch genauer ausmachen:
hab hier zB die zwei aufgaben:
i) j|z|=z*
ii) [mm] j+Re(\bruch{1}{z} [/mm] = z
zu i)
[mm] j*\wurzel{a^2+b^2} [/mm] = a-bj
laut lösung folgt nun a=0 und |b| = -b
und daraus => a=0 und b<= 0
zu ii)
[mm] \bruch{a}{a^2+b^2} [/mm] + j = z
dass das b hier 1 ist klar
nur wieso soll das a=0 sein
und wieso plötzlich z=1 ?
danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 So 24.09.2006 | | Autor: | FlorianJ |
okay ich nochmal!
folgendes habe ich nun erarbeitet und hoffe, dass es richtig ist:
[mm] z^4-a [/mm] = 0 => [mm] z^4 [/mm] = a [mm] \wurzel[4]{a} [/mm] = z
mit r = a und [mm] \phi [/mm] = 0
[mm] z_1 [/mm] = [mm] \wurzel[4]{a}(cos(0)+i*sin(0)) =\wurzel[4]{a}
[/mm]
[mm] z_2 [/mm] = [mm] \wurzel[4]{a}(cos(\bruch{\pi}{2})+i*sin(\bruch{\pi}{2}))=\wurzel[4]{a}*j
[/mm]
[mm] z_3 [/mm] = [mm] \wurzel[4]{a}(cos(\bruch{\pi}{1})+i*sin(\bruch{\pi}{1}))=-\wurzel[4]{a}
[/mm]
[mm] z_4 [/mm] = [mm] \wurzel[4]{a}(cos(\bruch{3\pi}{2})+i*sin(\bruch{3\pi}{2}))=-\wurzel[4]{a}*j
[/mm]
ich glaube das ist richtig, eine bestätigung wäre aber super..
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melde - Bestätigung erfolgt - weitermachen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:12 So 24.09.2006 | | Autor: | FlorianJ |
okay gut, dann ist also
[mm] z^2=2 [/mm] => [mm] \wurzel{2}*(cos(\bruch{2*\pi*k}{2})+i*sin(\bruch{2*\pi*k}))
[/mm]
[mm] z_1= \wurzel{2}
[/mm]
[mm] z_2 [/mm] = [mm] -\wurzel{2}
[/mm]
das müsste es dann wohl sein.
nun brauch ich aber nen kaffee ;)
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Hiho,
einfach zu merken ist, daß Gleichungen der Form
[mm]z^n = x[/mm]
im komplexen immer genau n Lösungen haben.
Ich weiss ja nicht, inwieweit noch Bedarf besteht i) und ii) zu lösen, aber bei i) komm ich aufs selbe wie du, halts also einfach mal für richtig, ii) geht so:
[mm]\bruch{a}{a^2+b^2} + j = z \wedge z=a+bj[/mm]
[mm]\gdw \bruch{a}{a^2+b^2} = a + bj - j [/mm]
[mm]\gdw \bruch{a}{a^2+b^2} = a + (b-1)j[/mm]
Es gilt ja a,b [mm] \in \IR [/mm] , d.h. links steht etwas aus [mm] \IR [/mm] , damit rechts auch etwas aus [mm] \IR [/mm] steht, muss also gelten:
[mm]b-1 = 0 \gdw b = 1[/mm]
Wir wissen nun also, daß b=1 ist, einsetzen, dann gilt:
[mm]\bruch{a}{a^2 +1} = a \gdw a = 0 [/mm]
Hoffe das reicht.
Gruß,
Gono.
PS: Wie du allerdings so schnell darauf kommst, daß a = 0 ist, ohne vorher b auszurechnen, würde ich gerne mal sehen :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:23 Mo 25.09.2006 | | Autor: | FlorianJ |
morgen und danke an euch!
werd noch ein paar aufgaben rechnen, dürfte aber nun alles gehen.
bis zum nächsten mal 
ps an die lösung kam ich natürlich durchs buch ;)
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