Lösungen eines LGS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 Sa 13.12.2008 | | Autor: | crysis01 |
| Aufgabe | In welchem Fall hat das folgende Gleichungssystem keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen:
[mm] x_1 [/mm] - [mm] 2*x_2 [/mm] + [mm] 3*x_3 [/mm] = -4
[mm] 2*x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 2
[mm] x_1 [/mm] + [mm] \alpha*x_2 [/mm] + [mm] 2*x_3 [/mm] = [mm] -\beta [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Durch Gauss bin ich von
[mm] \begin{vmatrix}
1 && -2 && 3 && -4 \\
2 && 1 && 1 && 2 \\
1 && \alpha && 2 && -\beta
\end{vmatrix}
[/mm]
auf die Lösung
[mm] x_1 [/mm] = [mm] -\frac{10*\alpha+5*\beta}{\alpha+1}
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] -\frac{\beta-2}{\alpha+1}
[/mm]
[mm] x_3 [/mm] = [mm] \frac{2*\alpha+\beta}{\alpha+1}
[/mm]
gekommen.
Daraus kann ich, so meine ich, absehen dass das Gleichungssystem für [mm] \alpha [/mm] = -1 keine Lösung besitzt.
Richtig?
Für unendlich viele Lösungen wäre es nötig lineare Abhängigkeit zwischen zwei der drei Gleichungen herzustellen, oder?
Während der Anwendung des Gauss - Verfahrens war ich während eines Zwischenschrittes auf die Form
[mm] \begin{vmatrix}
1 && -2 && 3 && -4 \\
0 && 1 && -1 && 2 \\
0 && \alpha+2 && -1 && -\beta+4
\end{vmatrix}
[/mm]
gekommen.
Würde ich hier [mm] \alpha [/mm] = -1 und [mm] \beta [/mm] = 2 einsetzen, wären die Zeilen 2 und 3 linear abhängig.
Da habe ich aber zwei Probleme:
1) Wie kann ich das sinnvoll in eine Rechnung fassen, ohne Ausprobieren zu müssen?
2) Im Ausgangssystem (siehe Aufgabenstellung) scheint die lineare Abhängigkeit für [mm] \alpha [/mm] = -1 und [mm] \beta [/mm] = 2 nicht mehr zu bestehen, also nehme ich an das ich hier einen Denkfehler habe.
Genau eine Lösung müsste ich doch eigentlich für jedes Wertepaar [mm] {\alpha, \beta \in \IR|\alpha \not= -1} [/mm] erhalten, oder?
Ich weiß, eine ähnliche Frage wurde hier schonmal beantwortet. Ich hab den Thread auch durchgelesen, aber leider konnte ich damit meine Fragen nicht beantworten.
Ich sag schonmal Danke im Voraus für eure Anregungen und Lösungsvorschläge.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:26 Sa 13.12.2008 | | Autor: | crysis01 |
Ich hab grad gemerkt das meine Idee zu einer Lösung Blödsinn ist.
Die Lösungsmenge würde ja auch wieder die lineare Abhängigkeit beinhalten.
Damit habe ich zu diesem Fall leider gar keine Lösungsidee.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:44 Sa 13.12.2008 | | Autor: | abakus |
> In welchem Fall hat das folgende Gleichungssystem keine,
> genau eine oder unendlich viele Lösungen:
>
> [mm]x_1[/mm] - [mm]2*x_2[/mm] + [mm]3*x_3[/mm] = -4
> [mm]2*x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] = 2
> [mm]x_1[/mm] + [mm]\alpha*x_2[/mm] + [mm]2*x_3[/mm] = [mm]-\beta[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Durch Gauss bin ich von
>
> [mm]\begin{vmatrix}
1 && -2 && 3 && -4 \\
2 && 1 && 1 && 2 \\
1 && \alpha && 2 && -\beta
\end{vmatrix}[/mm]
>
> auf die Lösung
>
> [mm]x_1[/mm] = [mm]-\frac{10*\alpha+5*\beta}{\alpha+1}[/mm]
>
> [mm]x_2[/mm] = [mm]-\frac{\beta-2}{\alpha+1}[/mm]
>
> [mm]x_3[/mm] = [mm]\frac{2*\alpha+\beta}{\alpha+1}[/mm]
>
> gekommen.
>
> Daraus kann ich, so meine ich, absehen dass das
> Gleichungssystem für [mm]\alpha[/mm] = -1 keine Lösung besitzt.
> Richtig?
>
> Für unendlich viele Lösungen wäre es nötig lineare
> Abhängigkeit zwischen zwei der drei Gleichungen
> herzustellen, oder?
>
> Während der Anwendung des Gauss - Verfahrens war ich
> während eines Zwischenschrittes auf die Form
>
> [mm]\begin{vmatrix}
1 && -2 && 3 && -4 \\
0 && 1 && -1 && 2 \\
0 && \alpha+2 && -1 && -\beta+4
\end{vmatrix}[/mm]
>
> gekommen.
Wenn du jetzt dritte minus zweite Gleichung rechnest, erhältst du
[mm] (\alpha+1)*y=-\beta+2
[/mm]
Für [mm] \alpha=-1 [/mm] und [mm] \beta [/mm] =-2 nimmt diese Gleichung die Form 0*y=0 mit unendlich vielen Möglichkeiten für y an.
Für [mm] \alpha=-1 [/mm] und [mm] \beta \ne-2 [/mm] gibt es keine Lösung.
Gruß Abakus
>
> Würde ich hier [mm]\alpha[/mm] = -1 und [mm]\beta[/mm] = 2 einsetzen, wären
> die Zeilen 2 und 3 linear abhängig.
> Da habe ich aber zwei Probleme:
>
> 1) Wie kann ich das sinnvoll in eine Rechnung fassen, ohne
> Ausprobieren zu müssen?
> 2) Im Ausgangssystem (siehe Aufgabenstellung) scheint die
> lineare Abhängigkeit für [mm]\alpha[/mm] = -1 und [mm]\beta[/mm] = 2 nicht
> mehr zu bestehen, also nehme ich an das ich hier einen
> Denkfehler habe.
>
> Genau eine Lösung müsste ich doch eigentlich für jedes
> Wertepaar [mm]{\alpha, \beta \in \IR|\alpha \not= -1}[/mm] erhalten,
> oder?
>
> Ich weiß, eine ähnliche Frage wurde hier schonmal
> beantwortet. Ich hab den Thread auch durchgelesen, aber
> leider konnte ich damit meine Fragen nicht beantworten.
>
> Ich sag schonmal Danke im Voraus für eure Anregungen und
> Lösungsvorschläge.
>
> Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Sa 13.12.2008 | | Autor: | crysis01 |
Hey Abakus,
ich dank dir schonmal vielmals für deine Antwort.
Aber ich habe noch 2 Fragen dazu:
1) Warum gibt es für [mm] \beta \not= [/mm] -2 keine Lösung?
2) In welchem Fall erhalte ich genau eine Lösung?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Sa 13.12.2008 | | Autor: | abakus |
> Hey Abakus,
>
> ich dank dir schonmal vielmals für deine Antwort.
> Aber ich habe noch 2 Fragen dazu:
>
> 1) Warum gibt es für [mm]\beta \not=[/mm] -2 keine Lösung?
Weil die Gleichung von vorhin dann lauten würde
0*y=... (und die rechte Seite wäre nicht Null, was ja dann nicht sein kann).
>
> 2) In welchem Fall erhalte ich genau eine Lösung?
Für alle anderen [mm] \alpha [/mm] .
>
> Liebe Grüße
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