Lösung zu Anfangswertproblemen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 So 10.01.2010 | | Autor: | Slint |
| Aufgabe | Lösen Sie folgendes Anfangswertproblem!
[mm] $y^{'}-2y=0, \; [/mm] y(0)=-3$ |
Hallo an alle,
ich sitze an dieser doch eigentlich recht simplen Aufgabe, weiß aber nicht ob mein Rechenweg und Ergebnis stimmt. Deshalb bitte ich euch, dass mal anzuschauen.
Meine Lösung:
[mm] $y^{'}-2y=0$ [/mm] umstellen zu [mm] $y^{'}=2y$, [/mm] danach habe ich die T.d.V. angewandt,
[mm] $\frac{1}{2y}dy=0dx \; \Longrightarrow \; \int{\frac{1}{2y}}dy=\int{0dx} \; \Longrightarrow \; \int{\frac{1}{2y}}dy=ln|2y|$ [/mm] und [mm] $\int{0dx}=K$
[/mm]
Das ergibt $ln|2y|=K [mm] \; \Longrightarrow \; |2y|=e^K \; \Longrightarrow \; [/mm] 2y=C$, wobei [mm] $C=\pm e^K, C\not=0$
[/mm]
Nach y umgestellt [mm] $y=\frac{C}{2}; C\not=0$ [/mm] , aus dem AW $y(0)=-3$ ergibt sich $y(0)=-3 [mm] \; \Longrightarrow \; \frac{C}{2}=-3 \; \Longrightarrow \; [/mm] C=-6$
C einsetzen ergbit folgende Lösung: [mm] $\underline{\underline{y(x)=\frac{-6}{2}=-3}}$
[/mm]
So nun zurück zu meiner Frage, stimmt die Rechnung und kann so stehen bleiben oder habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?
Viele Grüße
Slint
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 So 10.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
> So nun zurück zu meiner Frage, stimmt die Rechnung und
> kann so stehen bleiben oder habe ich irgendwo einen Fehler
> gemacht?
Der Rechenweg ist richtig, zwei kleine Fehler sind aber trotzdem drin.
Deswegen bekommst Du eine konstante Funktion raus, mit der die Diferentialgleichung $6 = 0$ ergeben würde, was offenbar falsch ist.
> Lösen Sie folgendes Anfangswertproblem!
>
> [mm]y^{'}-2y=0, \; y(0)=-3[/mm]
> [mm]\frac{1}{2y}dy=0dx \; \Longrightarrow \; \int{\frac{1}{2y}}dy=\int{0dx} \; \Longrightarrow \; \int{\frac{1}{2y}}dy=ln|2y|[/mm]
> und [mm]\int{0dx}=K[/mm]
1 ist nicht die Ableitung von $2y$ nach $y$, ziehe den Faktor [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] doch einfach aus dem Integral heraus, das ist ja schließlich linear.
Wenn Du ausserdem durch $2y$ teilst, bleibt 1 zurück, nicht 0. Das Integral, das bei Dir $K$ ergibt, integriert also über die Funktion 1, nicht 0.
Probier es jetzt nochmal.
Gruß,
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:52 So 10.01.2010 | | Autor: | Slint |
Danke für die schnelle Hilfe, bin leider erst jetzt dazu gekommen nochmal nachzurechnen. Jetzt habe ich folgendes ermittelt:
Nach T.d.V.: [mm] $\frac{1}{2}\int{\frac{dy}{y}}=\int{1x \; dx}$
[/mm]
Integration ergibt [mm] $ln|y|=x^2+K$ [/mm] , das macht [mm] $y=e^k \cdot e^{x^2} \;\Longleftarrow\; y=C\cdot e^{x^2}$.
[/mm]
Aus AW folgt $C=-3$, eingesetzt in meine Gl. erhalte ich damit die Lösung [mm] $y=-3\cdot e^{x^2}$
[/mm]
Kann das jemand bitte bestätigen!?
LG Slint
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 So 10.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Wenn Du es selbst in Deine DGL einsetzt, kannst Du es auch alleine überprüfen. Und Du siehst dann, dass das Ergebnis immernoch nicht richtig ist.
Warum hast Du denn aus [mm] $\int{0dx}$ [/mm] jetzt [mm] $\int{1xdx}$ [/mm] gemacht? Wie muss es richtig lauten?
Gruß,
AT-Colt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 So 10.01.2010 | | Autor: | Slint |
Also ich denke das es [mm] $\int{1\; dx}=x+K$ [/mm] sein müsste. Mit dem Endergebnis [mm] $y=-3\cdot e^{2x}$.
[/mm]
Gruß
Slint
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 So 10.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Ja, jetzt passt es.
Gruß,
AT-Colt
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