Lösung Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Mi 25.02.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für alle x [mm] \in \IR [/mm] mit x [mm] \ge [/mm] 0 und alle n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 5 gilt
(1 + [mm] 2x)^{n} \ge [/mm] n(n-1)²x³ |
Ich habe keine Ahnung wie ich an diese Aufgabe heran gehen soll.
Von Ungleichungen mit beträgen ist es mir bekannt, eine Vorzeichentabelle oder eine Fallunterscheidung zu machen, aber ich weiß nicht wie ich hier vorgehen soll.
Greetz
Ganzir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:35 Mi 25.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ganzir!
Entweder führst Du hier für $n_$ eine vollständige Induktion durch, oder Du wendest auf den linken Term den binomischen Lehrsatz an und schätzt ab.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Mi 25.02.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | Vollständige Induktion nach n
Indukations Anfang
n = 5 : (1 x [mm] 2x)^{5} \ge [/mm] 5 [mm] (5-1)^{2} x^{3}
[/mm]
(1 x [mm] 2x)^{5} \ge 80x^{3}
[/mm]
Induktionsschritt (1 x [mm] 2x)^{n} \ge n(n-1)^{2} x^{3}
[/mm]
Zu zeigen (1 x [mm] 2x)^{n+1} \ge [/mm] (n+1) [mm] (n+1-1)^{2} x^{3}
[/mm]
(1+ [mm] 2x)^{n} \ge [/mm] n [mm] (n-1)^{2} x^{3} [/mm] | *(1+2x)
(1+ [mm] 2x)^{n+1} \ge [/mm] n [mm] (n-1)^{2} x^{3} [/mm] (1+2x)
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Nun muss ich ja versuchen das so auszumultiplizieren und umzufornem, dass sich am Ende auf ein Ergibnis komme, dass irgendwie so aussieht:
(1 x [mm] 2x)^{n+1} \ge [/mm] (n+1) [mm] (n+1-1)^{2} x^{3}
[/mm]
Ich komme aber auf sowas hier:
[mm] n^{3}x^{3} [/mm] - [mm] 2n^{2}x^{3}+nx^{3} [/mm] + [mm] 2n^{3}x^{4} [/mm] - [mm] 4n^{2}x^{4} [/mm] + [mm] 2nx^{4}
[/mm]
Habe ich was falsch gemacht oder sehe ich nur den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:57 Do 26.02.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Vollständige Induktion nach n
>
> Indukations Anfang
>
> n = 5 : (1 x [mm]2x)^{5} \ge[/mm] 5 [mm](5-1)^{2} x^{3}[/mm]
> (1
> x [mm]2x)^{5} \ge 80x^{3}[/mm]
>
> Induktionsschritt (1 x [mm]2x)^{n} \ge n(n-1)^{2} x^{3}[/mm]
>
> Zu zeigen (1 x [mm]2x)^{n+1} \ge[/mm] (n+1) [mm](n+1-1)^{2} x^{3}[/mm]
>
> (1+ [mm]2x)^{n} \ge[/mm] n [mm](n-1)^{2} x^{3}[/mm] | *(1+2x)
> (1+ [mm]2x)^{n+1} \ge[/mm] n [mm](n-1)^{2} x^{3}[/mm] (1+2x)
>
> Nun muss ich ja versuchen das so auszumultiplizieren und
> umzufornem, dass sich am Ende auf ein Ergibnis komme, dass
> irgendwie so aussieht:
>
> (1 x [mm]2x)^{n+1} \ge[/mm] (n+1) [mm](n+1-1)^{2} x^{3}[/mm]
Das ist korrekt
>
> Ich komme aber auf sowas hier:
>
> [mm]n^{3}x^{3}[/mm] - [mm]2n^{2}x^{3}+nx^{3}[/mm] + [mm]2n^{3}x^{4}[/mm] - [mm]4n^{2}x^{4}[/mm]
> + [mm]2nx^{4}[/mm]
>
> Habe ich was falsch gemacht oder sehe ich nur den Wald vor
> lauter Bäumen nicht mehr?
Zeig mal deine Rechnung.
Ein paar Tipps gibts aber noch:
i) [mm] (n+1)(n+1-1)^{2}x^{3}
[/mm]
[mm] =(n+1)n^{2}x^{3}
[/mm]
[mm] =n^{3}x³+n²x³
[/mm]
ii) [mm] (1+2x)^{n+1}
[/mm]
[mm] =(1+2x)^{n}(1+2x)
[/mm]
[mm] \ge n(n-1)^{2}x³*(1+2x)
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Do 26.02.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | Das ist meine Rechnung
(1+ [mm] 2x)^{n+1} \ge [/mm] n [mm] (n-1)^{2} x^{3} [/mm] (1+2x)
Ich betrachte hier nur die rechte Seite, da sich die Linke nicht verändert.
= n [mm] (n^{2} [/mm] - 2n + 1) [mm] (x^{3} [/mm] + [mm] 2x^{4})
[/mm]
[mm] =(n^{3} [/mm] - [mm] 2n^{2} [/mm] + n) [mm] (x^{3} [/mm] + [mm] 2x^{4})
[/mm]
Das ausmultipliziert führt mich zu:
[mm] n^{3}x^{3} [/mm] - [mm] 2n^{2}x^{3}+nx^{3}+2n^{3}x^{4} [/mm] - [mm] 4n^{2}x^{4} +2nx^{4} [/mm] |
Evtl. siehst du ja wo ich falsch / ungüstig rechne.
Greetz
Ganzir
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Hallo ganzir,
was rechnest Du da eigentlich? Das ist doch nur die Induktionsvoraussetzung (IV), in der Du beide Seiten mit (1+2x) multiplizierst. Welche neue Information willst Du daraus gewinnen?
Du schriebst selbst, ganz richtig:
Zu zeigen [mm] (1+2x)^{n+1} \ge (n+1)(n+1-1)^{2}x^{3}
[/mm]
Einen Tippfehler und den mathematischen Textsatz habe ich korrigiert, sonst nichts.
Nun brauchst Du natürlich die IV, aber es steht zu vermuten, dass die Behauptung gezeigt werden kann, indem man folgendes prüft:
[mm] \blue{(1+2x)^{n+1} \ge n(n-1)^{2}x^{3}(1+2x)} \ge (n+1)(n+1-1)^{2}x^{3}
[/mm]
Der blaue Teil ist das, was Du da gerade rechnest, also die IV mit (1+2x) multipliziert. Der rechte, schwarze Teil der Ungleichungskette ist die Anwendung der Induktionsbehauptung auf n+1. Zu überprüfen ist nun, ob das schwarze [mm] \ge [/mm] stimmt.
Also:
[mm] n(n-1)^{2}x^{3}(1+2x) \ge(n+1)n^{2}x^{3} [/mm]
Für x=0 ist das erfüllt, für x>0 teile ich mal beide Seiten durch [mm] nx^3
[/mm]
[mm] (n-1)^2(1+2x) \ge(n+1)n
[/mm]
[mm] (n^2-2n+1)(1+2x) \ge n^2+n
[/mm]
[mm] n^2-2n+1+2(n-1)^2x \ge n^2+n
[/mm]
...
[mm] x\ge \bruch{3n-1}{2(n-1)^2}
[/mm]
Das sieht nicht gut aus. Solche Forderungen für x zu stellen, schränkt ja die Behauptung ein. Die Aussage ist jedenfalls nicht uneingeschränkt wahr.
Du wirst für den Induktionsschritt also eine andere Ungleichungskette benötigen.
Grüße
reverend
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