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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 Fr 24.07.2009 | | Autor: | Rene |
| Aufgabe | Erläutern Sie die Methode der Fourier-Transformationen anhand des Beispiels
[mm]u_{xx}+u_{yy}=0, u(x,0)=f(x), u(x,1)=0[/mm]
auf [mm] R=\{(x,y)\in\IR^2: x \in \IR, 0\le y \le 1\} [/mm] mit Randwertfunktion [mm]f(x)=0[/mm] für [mm]|x]>1[/mm] und [mm] f(x)=\pi[/mm] für [mm]|x|\le 1[/mm]. Berechnen Sie formal mit Fouriertransformation eine beschränkte Lösung dieses Randwertproblems.
Lösung [mm]u(x,t)[/mm] in Integralform [mm]\int_\IR{g(x,y,\omega)d\omega}[/mm] mit expliziter Angabe des Integranden g genügt, wobei in g kein Integral mehr auftauchen sollte. |
Moin Moin!
Ich hab da bei der Aufgabe so meine Probleme. Wie ich die Fouriertransformation anwende weiß ich (denk ich), nur beim Lösen der DGL 2. Ordnung hab ich dann meine Probleme.
Mit der Fouriertransformation bezüglich x erhalte ich
[mm]-\omega^2U(\omega,y)+U_{yy}(\omega,y)=0[/mm]
[mm]U(\omega,0)=F(\omega)[/mm]
[mm]U(\omega,1)=0[/mm]
Als Lösung erhalte ich dann
[mm] U(\omega,y)=C_1e^{|\omega| y}+C_2e^{-|\omega| y}[/mm]
Dies kann ich jedoch nicht als Lösung verwenden, da u beschränkt sein soll, dies heir aber nicht der Fall ist. Wenn ich nun den Ansatz
[mm]U(\omega,y)=Ce^{-|\omega|y}[/mm]
nutze, hab ich aber nur noch eine Konstante. Die könnte ich bestimmen als [mm] F(\omega)[/mm], nur wo bleibt dann meine RB: [mm] U(\omega,1)=0?
[/mm]
Vielleicht hat hier ja jemand eine Idee?
Wenn ich [mm]U(\omega,y)[/mm] bestimmt habe, hab ich ja schon so gut wie die Lösung. Über die Faltung komm ich dann ja zu meinem u(x,y).
Ich hoffe jemand weiß Rat.
Ich habe die Frage in keine weiteren Foren gestellt!
Mit freundlichen Grüßen
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Hallo Rene,
> Erläutern Sie die Methode der Fourier-Transformationen
> anhand des Beispiels
>
> [mm]u_{xx}+u_{yy}=0, u(x,0)=f(x), u(x,1)=0[/mm]
>
> auf [mm]R=\{(x,y)\in\IR^2: x \in \IR, 0\le y \le 1\}[/mm] mit
> Randwertfunktion [mm]f(x)=0[/mm] für [mm]|x]>1[/mm] und [mm]f(x)=\pi[/mm] für [mm]|x|\le 1[/mm].
> Berechnen Sie formal mit Fouriertransformation eine
> beschränkte Lösung dieses Randwertproblems.
> Lösung [mm]u(x,t)[/mm] in Integralform
> [mm]\int_\IR{g(x,y,\omega)d\omega}[/mm] mit expliziter Angabe des
> Integranden g genügt, wobei in g kein Integral mehr
> auftauchen sollte.
> Moin Moin!
>
> Ich hab da bei der Aufgabe so meine Probleme. Wie ich die
> Fouriertransformation anwende weiß ich (denk ich), nur
> beim Lösen der DGL 2. Ordnung hab ich dann meine
> Probleme.
>
> Mit der Fouriertransformation bezüglich x erhalte ich
>
> [mm]-\omega^2U(\omega,y)+U_{yy}(\omega,y)=0[/mm]
> [mm]U(\omega,0)=F(\omega)[/mm]
> [mm]U(\omega,1)=0[/mm]
>
> Als Lösung erhalte ich dann
> [mm]U(\omega,y)=C_1e^{|\omega| y}+C_2e^{-|\omega| y}[/mm]
>
> Dies kann ich jedoch nicht als Lösung verwenden, da u
> beschränkt sein soll, dies heir aber nicht der Fall ist.
Das kannst Du schon als Lösung verwenden.
> Wenn ich nun den Ansatz
>
> [mm]U(\omega,y)=Ce^{-|\omega|y}[/mm]
>
> nutze, hab ich aber nur noch eine Konstante. Die könnte
> ich bestimmen als [mm]F(\omega)[/mm], nur wo bleibt dann meine RB:
> [mm]U(\omega,1)=0?[/mm]
>
> Vielleicht hat hier ja jemand eine Idee?
Bestimme hier die Konstanten in
[mm]U(\omega,y)=C_1e^{|\omega| y}+C_2e^{-|\omega| y}[/mm]
mit den Randbedingungen
[mm]U(\omega,0)=F(\omega)[/mm]
[mm]U(\omega,1)=0[/mm]
Dann wirst Du möglicherweise feststellen, daß U beschränkt ist.
>
> Wenn ich [mm]U(\omega,y)[/mm] bestimmt habe, hab ich ja schon so gut
> wie die Lösung. Über die Faltung komm ich dann ja zu
> meinem u(x,y).
>
> Ich hoffe jemand weiß Rat.
>
> Ich habe die Frage in keine weiteren Foren gestellt!
>
> Mit freundlichen Grüßen
Gruß
MathePower
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