Lösung Exponentialgleichung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Mo 07.02.2005 | | Autor: | Alfa33 |
Hi
Wer kann mir helfen bei folgender Exponetialgleichung:
[mm] 2^{x+1}-3^x [/mm] = [mm] 2^{x+3}-3^{x+2}
[/mm]
Ergebnis bzw. den vorletzten Schritt lautet:
x= [mm] \bruch{ln(3)-2ln(2)}{ln(3)-ln(2)}=-0,7095
[/mm]
Habe erstmal umgeschrieben in:
[mm] 2^x*2^1-3^x=2^x*2^3-3^x*3^2
[/mm]
Danach LN
x*ln2+ln2-x*ln3=x*ln2+ln8-x*ln3+ln9
Aber ab hier komme ich nicht mehr weiter. Wer kann mir sagen ob es bis hier hin wenigstens stimmt.
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Mo 07.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Alfa33!
> Hi
> Wer kann mir helfen bei folgender Exponetialgleichung:
> [mm]2^{x+1}-3^x[/mm] = [mm]2^{x+3}-3^{x+2}
[/mm]
>
> Ergebnis bzw. den vorletzten Schritt lautet:
>
> x= [mm]\bruch{ln(3)-2ln(2)}{ln(3)-ln(2)}=-0,7095
[/mm]
>
> Habe erstmal umgeschrieben in:
>
> [mm]2^x*2^1-3^x=2^x*2^3-3^x*3^2[/mm]
> Danach LN
> x*ln2+ln2-x*ln3=x*ln2+ln8-x*ln3+ln9
Nein, das stimmt z.B. schon deswegen nicht, weil ja:
[mm] $\ln(a+b)\not= \ln [/mm] a + [mm] \ln [/mm] b$ bzw. [mm] $\ln(a-b) \not= \ln [/mm] a - [mm] \ln [/mm] b$.
[Du rechnest z.B.: "[mm]\ln(2^x*2^1\red{-}3^x)=\ln(2^x*2^1)\red{-}\ln(3^x)[/mm]", und das geht ja wegen dem eben bemerkten nicht!]
(Und außerdem wäre [mm] $-\ln(3^x*3^2)=-(x*\ln3+\ln9)=-x*\ln3-\ln9$)
[/mm]
Bei deiner Aufgabe helfen aber folgende Umformungen (die Begründung, warum diese Umformungen sinnvoll sind, steht am Ende):
[mm]2^{x+1}-3^x=2^{x+3}-3^{x+2}\;\;|-2^{x+1}\;|+3^{x+2}[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $2^{x+3}-2^{x+1}=3^{x+2}-3^x$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $2^{x+1}*\underbrace{(2^2-1)}_{=3}=3^x*\underbrace{(3^2-1)}_{=8}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $3*2^{x+1}=8*3^x$ ($\leftarrow$ Da steht auf beiden Seiten der Gleichung ein Produkt. Das ist gut wegen der Rechenregel [/mm] [m]\ln(a*b)=\ln a +\ln b[/m].)
[mm] ($\gdw$ $\frac{2^{x+1}}{3^x}=\frac{8}{3}$ $\leftarrow$ Das ist/wäre auch eine weitere gute Umformung wegen der Rechenregel [/mm] [mm]\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln a - \ln b[/mm].)
Jetzt wende den Logarithmus an, beachte die  Rechenregeln für den Logarithmus sowie die Tatsache, dass [mm] $8=2^3$ [/mm] gilt, und du solltest (nach ein paar kleinen Umformungen) dein gewünschtes Ergebnis erhalten.
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:53 Mo 07.02.2005 | | Autor: | Alfa33 |
Hey Super, ich habs! ln(8/6)/(ln(2/3)
Danke
Ciao
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