Lösen von Rekursionsgleichung < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:26 Mi 09.07.2008 | | Autor: | kazimir |
| Aufgabe | Aufgabe 1: [mm] (a_n)_{n \in N} [/mm] sei die Folge, welche durch die folgenden Gleichungen
festgelegt ist:
[mm]a_0 := 0[/mm]
[mm]a_1 := 0[/mm]
[mm]a_2 := 1[/mm]
[mm]a_{n+3} := 4a_{n+2} - 5a_{n+1} + 2a_n[/mm]
Benutzen Sie die Methoden aus der Vorlesung, um eine explizite Formel für [mm] a_n [/mm] zu finden. |
Irgendwie komme ich einfach nicht auf eine Vernünftige Lösung für das Problem...
Im Prinzip ist es mir egal, ob nach Vorlesung gelöst oder anders. Ich finde nur keine einleuchtende und funktionierende Methode Rekursionsgleichungen jeglicher Art zu lösen.
Mein Lösungsansatz:
Nullstellen finden für
[mm] 0 = - a_{n+3} + 4a_{n+2} - 5a_{n+1} + 2a_n[/mm]
Polynomdivision:
[mm] -1z^3 + 4z^2 - 5z + 2 : (z-2) = -z^2 + 2z -1 [/mm]
Nach PQ-Formel gibts dann
[mm]
\alpha_1 = 2 [/mm]
[mm] \alpha_{2,3} = 1
[/mm]
Nun die aus der Vorlesung bekannte explizite Formel für unterschiedliche Nullstellen:
Für i=0 bis Anzahl der Nullstellen
[mm] \sum_{i=1}^{3} c_i\alpha_i^n = c_1*1^n + c_2*1^n + c_3*2^n [/mm]
Wobei [mm] \alpha_i [/mm] die Nullstellen sind und [mm] c_i [/mm] die Konstanten.
Durch einsetzen der Startwerte aus der Aufgabe ergibt sich durch einsetzen in die Formel folgendes LGS:
[mm]0 = f(0) = c_1 + c_2 + c_3[/mm]
[mm]0 = f(1) = c_1 + c_2 + 2c_3[/mm]
[mm]1 = f(2) = c_1 + c_2 + 4c_3[/mm]
Dieses LGS ist ja leider nicht lösbar und somit bekomme ich auch keine Formel für die Lösung raus... Vielleicht sieht ja jemand meinen Fehler und kann mir Helfen...
Vielleicht kann mir auch jemand einen anderen Lösungsansatz zeigen, mit dem die Aufgabe lösbar wird...
Danke im Vorraus!
lg,
kazimir
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:58 Mi 09.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Einen "Fehler" kann man schwer finden, denn das liegt daran, dass man überhaupt nicht verstehen kann, was Du da eigentlich treibst.
Was sind denn die Methoden aus der Vorlesung ?
FRED
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Hallo kazimir!
> Aufgabe 1: [mm](a_n)_{n \in N}[/mm] sei die Folge, welche durch die
> folgenden Gleichungen
> festgelegt ist:
> [mm]a_0 := 0[/mm]
> [mm]a_1 := 0[/mm]
> [mm]a_2 := 1[/mm]
> [mm]a_{n+3} := 4a_{n+2} - 5a_{n+1} + 2a_n[/mm]
Was du da machst, weiß ich auch nicht, und eigentlich habe ich keine Ahnung von irgendwelchen Methoden für so etwas, aber ich rechne als erstes immer ein paar Elemente aus. Das sind dann hier:
0, 0, 1, 4, 11, 26, 57, 120, ...
Wenn man sich nun die Differenzen der einzelnen Folgenglieder anschaut, stellt man fest:
0, 1, 3, 7, 15, 31, 63, ...
Und diese Differenzen ändern sich nach Zweierpotenzen, also [mm] 2^0, 2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5, [/mm] ...
Das sollte eigentlich helfen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:30 Mi 09.07.2008 | | Autor: | kazimir |
Leider hilft mir das nicht viel weiter, da ich die explizite Formel für die Rekursionsgleichung benötige...
Aber danke für deine Hilfe und das du dir die Arbeit gemacht hast, alle Gleider auszurechnen :D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:17 Mi 09.07.2008 | | Autor: | kazimir |
Nach 3 Stunden googlen hab ich endlich die Lösung für mein Problem gefunden...
![[]](/images/popup.gif) Infler.de Forum
Die Antwort von Peter hat mir geholfen.
Mein Problem lag darin, dass ich nicht die doppelte Nullstelle beachtet habe.
Für meinen Fall würde das nicht so aussehen:
[mm]
$ \sum_{i=1}^{3} c_i\alpha_i^n = c_1\cdot{}1^n + c_2\cdot{}n\cdot{}1^n + c_3\cdot{}2^n $[/mm]
sondern mit berücksichtigung der doppelten Nullstelle so:
[mm] c_1\cdot{}2^n + c_2\cdotn\cdot{}1^n + c_3\cdot{}1^n [/mm]
und somit bekomme ich:
[mm]$ 0 = f(0) = c_1 + c_3 $ [/mm]
[mm]$ 0 = f(1) = 2c_1 + c_2 + c_3 $ [/mm]
[mm]$ 1 = f(2) = 4c_1 + 2c_2 + c_3 $ [/mm]
Und die explizite Formel lautet dann:
[mm] f(n) = 2^n - n -1 [/mm]
Ich danke euch allen für eure Mühen und Antworten....
lg,
kazimir
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