Lösen der inhomogene DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Di 28.03.2006 | | Autor: | Mafiose |
| Aufgabe | y''+y'-2y=g(x)
g(x)=x²-4x+3 |
Ansatz: y(p)=A2x²+A1x+A0
y'(p)=2A2x+A1
y''(p)=2A2
einsetzen in Dgl:
2*A2+2*A2x+A1-2*(A2x²+A1x+A0)=x²-4x+3
2A2+2A2x+A1-2A2x²-2A1x-2A0
-2Ax²+2A2x+2A2-2A1x+A1-2A0=x²-4x+3
was muss ich jetzt machen?
Andere Aufgaben:
Ableitungen:
[mm] y'(p)=(A+Ax)*e^{x}
[/mm]
[mm] y''(p)=(2A+Ax)*e^{x} [/mm] Warum?
Koeffizientenvergleich:
6A1x+3A0+2A1=X
6A1=1
3A0+2A1=0
das sieht man zwar mit dem Auge, aber gibt es nicht einen rechenweg, wo ich zu dem Ergebniss komme?
2. Aufgabe
-6A-2B=3
Koeffizientenvergleich: wie wird der gemacht?
2A-6B=0
die Lösung lautet [mm] A=-\bruch{9}{20}, B=-\bruch{3}{20}
[/mm]
Wie komme ich zu dieser Lösung?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Di 28.03.2006 | | Autor: | Mafiose |
Hallo herby
jetzt sehe ich die Lösung...thx :)
zu den anderen aufgaben:
> 6A1x+3A0+2A1=X
> 6A1=1
> 3A0+2A1=0
ich meinte mit dem rechenweg, wie komme ich auf 6A1=1??
die 3A0+2A1 erstmal nicht beachten und dann durch X teilen ???
6A1=1
und der andere Teil ist halt null, weil
6A1x + 3A0+2A1 =1X+0
ich dachte man kann die Gleichung so umstellen, dass am Ende halt A1=?? ist...also ohne diese Farbige gleichung....wahrscheinlich ist es der Koeffizientenvergleich und ohne den gehts nicht? :)
-6A-2B=3
wie komm ich den jetzt auf diese gleichung?
2A-6B=0
auch Koeffizientenvergleich?
-6A-2B=3+0
-6A=3
-2B=0
???
-6A-2B=3
2A-6B=0
einsetzverfahren?
A= [mm] \bruch{3+2B}{-6}
[/mm]
[mm] B=\bruch{-2A}{-6}
[/mm]
ich glaub ich bin ganz falsch oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Di 28.03.2006 | | Autor: | Mafiose |
wie man sieht, geht das eigentlich ziemlich leicht :)
ich danke dir...
hab grad gemerkt wieso ich von -6A-2B=3
auf 2A-6B=0 nicht kommen konnte
das war in der Aufgabe..man musste nur ablesen :)
thx..
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Fr 31.03.2006 | | Autor: | Mafiose |
| Aufgabe | y´´´-16y´= [mm] \bruch{1}{2}x²
[/mm]
Die störfunktion berechnen |
Ich habe die Lösung zu dieser Aufgabe, aber manche sachen sind mir unklar.
Es wird folgender Ansatz vorgeschlagen:
Yp=A3x³+A2x²+A1x+A0
Ableiten
Einsetzen
ergibt:
6A3 -48A3x² -32A2x -16A1 = [mm] [red]\bruch{1}{2}x² [/mm] [/red]+ 0 + 0
soweit ist alles richtig laut Lsg.
jetzt ist die Frage:
muss ich nach A3, A2, A1 auflösen? oder nach x²?
laut der Lösung, kann ich das hier nicht machen: (Warum)?
A3(6-48x²)-A2(32x)-A1(16)= [mm] \bruch{1}{2}x²
[/mm]
weil A3 muss [mm] -\bruch{1}{96} [/mm] sein, A2=0, [mm] A1=-\bruch{1}{16²}
[/mm]
Wenn ich die obere gleichung nach x² auflöse, dann hab ich das hier:
[mm] 6A3-x²(48A3)-x(32A2)-16A1=\bruch{1}{2}x²
[/mm]
jetzt setze ich einfach
[mm] -x²(48A3)=\bruch{1}{2}x²+0+0
[/mm]
[mm] A3=-\bruch{1}{96}
[/mm]
x(32A2)=0
A2=0
6A3-16A1=0
A1= [mm] \bruch{-6A3}{-16A1}
[/mm]
und jetzt?
eigentlich muss doch A1 auch gleich 0 sein?
Das ergebniss sollte so aussehen:
Y(p)=- [mm] \bruch{1}{96}x³- \bruch{1}{16²}x
[/mm]
Aufgabe 2.
Lösen Sie die folgende Differentialgleichung:
(3x²-2xy+2)+(6y²-x²+3)=0
momentan weiß ich gar nicht womit ich anfangen soll..
Nullstellen berechnen? diesex x² und y² verwieren mich...
Aufgabe 3
y´=-4xy²
y(p)=Axy²
y´(p)=2Axy
2Axy=-4xy²
A=-2y
y(p)=-2xy³ Lösung sollte sein: y= [mm] \bruch{1}{2x²-C}
[/mm]
Warum? vlt. hab ich was übersehen?
oder gilt der Ansatz nicht bei 1. ordnung?
Aufgabe 4
y´+5y=2
y(h)=Y+5=Y=-5
y(p)=A
y´(p)=0
einsetzen: 0+5A=2=A= [mm] \bruch{2}{5}
[/mm]
[mm] y=Ce^{-5x}+ \bruch{2}{5}
[/mm]
die Lösung lautet aber:
[mm] y=C²e^{-5x}+10c
[/mm]
warum? oder ist die Lösung falsch?
Ich hoffe mir kann jemand helfen, diese Aufgaben zu lösen.
Ich denk mal sind kleine Fehler, die ich nicht sehe...
Danach werd ich ein anderes Thema üben....also das sind die letzen inhomogene Dgls. :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:01 Fr 31.03.2006 | | Autor: | Herby |
Servus,
ich hab da jetzt nur schnell drübergeschaut, aber einiges kann ich dir schon mal erklären:
> y´´´-16y´= [mm]\bruch{1}{2}x²[/mm]
> Die störfunktion berechnen
> Ich habe die Lösung zu dieser Aufgabe, aber manche sachen
> sind mir unklar.
>
> Es wird folgender Ansatz vorgeschlagen:
> Yp=A3x³+A2x²+A1x+A0
> Ableiten
> Einsetzen
> ergibt:
> 6A3 -48A3x² -32A2x -
> 16A1 = [mm][red]\bruch{1}{2}x²[/mm] [/red]+ 0 > + 0
> soweit ist alles richtig laut Lsg.
> jetzt ist die Frage:
> muss ich nach A3, A2, A1 auflösen? oder nach x²?
du musst nach [mm] A_{i} [/mm] auflösen: Begründung siehe unten in bigblue
denn du willst ja nicht wissen, wie das x heißt, sondern wie man auf [mm] \bruch{1}{2} [/mm] bzw. auf 0 kommt.
> laut der Lösung, kann ich das hier nicht machen: (Warum)?
> A3(6-48x²)-A2(32x)-A1(16)= [mm]\bruch{1}{2}x²[/mm]
weil die [mm] 6A_{3} [/mm] nicht zum x² gehört
> weil A3 muss [mm]-\bruch{1}{96}[/mm] sein, A2=0, [mm]A1=-\bruch{1}> {16²}[/mm]
> Wenn ich die obere gleichung nach x² auflöse, dann hab ich
> das hier:
> [mm]6A3-x²(48A3)-x(32A2)-16A1=\bruch{1}{2}x²[/mm]
> jetzt setze ich einfach
> [mm]-x²(48A3)=\bruch{1}{2}x²+0+0[/mm]
genau und das ist der Knackpunkt: jetzt kannst du durch x² teilen und das x² ist weg - dann bleibt dir garnix anderes übrig, als nach [mm] A_{i} [/mm] aufzulösen, oder?  ]
> [mm]A3=-\bruch{1}{96}[/mm]
> x(32A2)=0
> A2=0
> 6A3-16A1=0
> A1= [mm]\bruch{-6A3}{-16A1}[/mm]
> und jetzt?
so würde ich auch nicht weiter kommen - wie wäre es hiermit:
[mm] A_{1}=\bruch{-6*A_{3}}{-16}=\bruch{-6*(-\bruch{1}{96})}{-16}=\bruch{\bruch{6}{96}}{-16}=\bruch{-1}{256}=-\bruch{1}{16²}
[/mm]
> eigentlich muss doch A1 auch gleich 0 sein?
nein, denn [mm] 6A_{3}-16A_{1} [/mm] muss gleich Null sein und [mm] 6A_{3} [/mm] ist nicht Null, dann kann es auch [mm] 16A_{1} [/mm] nicht sein. [mm] 16A_{1} [/mm] kann nur genau der Gegenwert von [mm] 6A_{3} [/mm] sein.
Beispiel: Wenn A=3 ist, wie groß muss dann B sein, damit A+B=0 ist - doch nicht Null! klarer???
> Das ergebniss sollte so aussehen:
> Y(p)=- [mm]\bruch{1}{96}x³- \bruch{1}{16²}x[/mm]
sieht es jetzt auch!
> Aufgabe 2.
> Lösen Sie die folgende Differentialgleichung:
> (3x²-2xy+2)+(6y²-x²+3)=0
> momentan weiß ich gar nicht womit ich anfangen soll..
> Nullstellen berechnen? diesex x² und y² verwieren mich...
also ich würde stumpfsinnig ausmultiplizieren und nach x und y sortieren und schauen ob es irgendwie weiter geht.
huch, da steht ja ein + und kein * - dann kannste auch nichts ausmultiplizieren und ich auch nicht
sorry, eigentlich wollte ich nur schnell mal hier rein schauen, keine Zeit für mehr.
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:28 Fr 31.03.2006 | | Autor: | Mafiose |
dankeschön
hast mir wiedermal die Augen aufgemacht :)
Ich werd die restlichen noch versuchen zu lösen...
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Hallo Mafiose,
Zur 3.:
Das mit den speziellen Ansätzen funktioniert nur bei linearen DGL mit konstanten Koeffizienten. Trennung der Veränderlichen wäre hier die Methode der Wahl.
zur 4.:
Deine Lsg. ist richtig. Du kannst ja auch die Musterlösung mal in die DGL einsetzen.
Übrigens ist die 2. eigentlich keine DGL. Da kommen ja gar keine Ableitungen vor
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 Di 04.04.2006 | | Autor: | Mafiose |
alles klar..danke leute....ich denke ich kann jetzt sagen: ich kann inhomogene Gleichungen :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 Di 04.04.2006 | | Autor: | Herby |
Hi,
> alles klar..danke leute....ich denke ich kann jetzt sagen:
> ich kann inhomogene Gleichungen :)
das wäre ja schön, wenn ich das auch sagen könnte ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
lg
Herby
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Produktregel![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
das ist doch der Rechenweg - z.B. ist [mm] A_{1}=\bruch{1}{6}
[/mm]![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
es ist aber nicht einfach alles Null, sondern die Summe [mm] 3A_{0}+2A_{1} [/mm] ist gleich Null. Da [mm] A_{1} [/mm] jedoch einen Wert ungleich Null hat, ist auch [mm] A_{0} [/mm] ungleich Null.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
nein, denn da steht (-6A-2B) ist gleich 3 - da kannst du nix trennen!
