Lösbarkeit einer Kongruenz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] \alpha \in \IC [/mm] mit [mm] \alpha^3 [/mm] - [mm] 2 \alpha^2 [/mm] + 2 = 0 und k := [mm] \IQ(\alpha ). [/mm] Bestimmen Sie die Diskriminante von k, sowie den Ganzheitsring und dessen Klassengruppe.
Folgern Sie, dass für jede Primzahl p die Existenz eines x [mm] \in \IZ[\alpha ] [/mm] mit
[mm] N_{\IQ}^{k} [/mm] (x) = [mm] \pm [/mm] p äquivalent ist zur Lösbarkeit der Kongruenz [mm] X^3 [/mm] - [mm] 2 X^2 [/mm] + 2 [mm] \equiv [/mm] 0 (mod p). |
Hallo Leute,
nicht vor der Länge meines Beitrages erschrecken, im Ersten der folgenden Absätze hab ich lediglich geschildert, wie ich den ersten Teil der Aufgabe gelöst habe. Mein eigentliches Problem ist der zweite Teil der Aufgabe, also die Äquivalenz zeigen.
Das Minimalpolynom von [mm] \alpha [/mm] ist gegeben durch f := [mm] X^3 [/mm] - [mm] 2 X^2 [/mm] + 2, da f Eisenstein bzgl. 2 sowie normiert ist und [mm] \alpha [/mm] als Nst. hat.
Ich weiß, dass [mm] d(\IZ[\alpha]) [/mm] = [O : [mm] \IZ[\alpha] ]^2 [/mm] d(O) gilt, wobei O den Ganzheitsring von k bezeichne. Deshalb bestimme ich zuerst [mm] d(\IZ[\alpha]).
[/mm]
Es gilt nach Def. (und da [mm] \IZ[\alpha] [/mm] freier [mm] \IZ [/mm] Modul mit Basis [mm] 1,\alpha,\alpha^2 [/mm] ist): [mm] d(\IZ[\alpha]) [/mm] = [mm] d(1,\alpha,\alpha^2)
[/mm]
Durch die Substitution F(X) := f(X+2/3) wird der quadratische Term eliminiert und es folgt F(X) = [mm] X^3 [/mm] - [mm] \frac{12}{9}X [/mm] + [mm] \frac{38}{27}. [/mm] Nach VL weiß ich jetzt, dass eine Nullstelle [mm] \beta [/mm] von F gilt: [mm] d(1,\beta, \beta^2) [/mm] = [mm] -4(-\frac{12}{9})^3 [/mm] - [mm] 27(\frac{38}{27})^2 [/mm] = -44 und da sich die Diskriminante bei Verschiebung der Nullstellen nicht ändert gilt [mm] d(\IZ[\alpha]) [/mm] = [mm] d(1,\alpha,\alpha^2) [/mm] = [mm] d(1,\beta, \beta^2) [/mm] = -44 = - [mm] 2^2 [/mm] * 11.
Mit obiger Formel folgt [O : [mm] \IZ[\alpha] [/mm] ] [mm] \in \{1,2\} [/mm] und da f Eisenstein bzgl. 2 ist gilt 2 teilt nicht [O : [mm] \IZ[\alpha] [/mm] ] (Das haben wir mal in ner Übungsaufgabe gezeigt). Also ist [O : [mm] \IZ[\alpha] [/mm] ] = 1 und damit O = [mm] \IZ[\alpha].
[/mm]
Nun zur Klassengruppe: Laut VL ex. für jedes x [mm] \in [/mm] Cl(O) ein Ideal u [mm] \subseteq [/mm] O mit x = [u] und N(u) [mm] \le (\frac{4}{\pi})^{r_2} \frac{n!}{n^n} |d(O)|^{\frac{1}{2}} [/mm] mit [mm] r_2 [/mm] die Hälfte der Anzahl der nicht-rellen komplexen Nullstellen von f, wobei N die Absolutnorm bezeichne. Es folgt N(u) [mm] \le [/mm] 1,88 und damit N(u) = 1, also ist die Klassengruppe trivial, das heißt O = [mm] Z[\alpha] [/mm] ist ein Hauptidealring.
Soweit so gut, nun hab ich allerdings keine Ahnung, wieso für jede Primzahl p die Existenz eines x [mm] \in \IZ[\alpha ] [/mm] mit
[mm] N_{\IQ}^{k} [/mm] (x) = [mm] \pm [/mm] p äquivalent ist zur Lösbarkeit der Kongruenz [mm] X^3 [/mm] - [mm] 2 X^2 [/mm] + 2 [mm] \equiv [/mm] 0 (mod p).
Ich hab mir mal die Mühe gemacht und die Norm eines x [mm] \in [/mm] k berechnet. Dazu habe ich x als [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2\alpha [/mm] + [mm] x_3\alpha^2 [/mm] geschrieben und dann die Determinante der Abbildung (*x) : k [mm] \to [/mm] k, a [mm] \mapsto [/mm] xa berechnet. Nach langer Rechnerei folgt daraus, sofern ich mich nicht verrechnet habe:
[mm] x_1^3 [/mm] + [mm] 4x_1^2x_3 [/mm] + [mm] 8x_1x_3^2 [/mm] + [mm] 2x_1^2x_2 [/mm] + [mm] 8x_2x_3^2 [/mm] - [mm] 8x_2x_3^2 [/mm] - [mm] 4x_2^2x_3 [/mm] + [mm] 6x_1x_2x_3 -2x_2^3 [/mm] + [mm] 4x_3^3
[/mm]
Allerdings weiß ich nicht, was mir das helfen soll.
Durch den Zerlegungssatz für Primzahlen weiß ich allerdings noch, dass p in O nicht träge ist genau dann, wenn f aufgefasst als Polynom in [mm] \IF_p[X] [/mm] reduzibel ist, was wiederrum äquivalent dazu ist, dass f [mm] \in \IF_p[X] [/mm] eine Nullstelle in [mm] \IF_p [/mm] hat und das ist äquivalent dazu, dass die Kongruenz [mm] X^3 [/mm] - [mm] 2 X^2 [/mm] + 2 [mm] \equiv [/mm] 0 (mod p) lösbar ist.
Ich weiß allerdings nicht, wie ich das mit der Norm in Verbindung bringen soll.
Wäre nett, wenn mir hier jemand auf die Sprünge helfen würde!
Viele Grüße
Anfänger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 Do 03.01.2013 | | Autor: | felixf |
Moin zusammen!
> Seien [mm]\alpha \in \IC[/mm] mit [mm] \alpha^3[/mm] - [mm]2 \alpha^2[/mm] + 2 = 0
> und k := [mm]\IQ(\alpha ).[/mm] Bestimmen Sie die Diskriminante von
> k, sowie den Ganzheitsring und dessen Klassengruppe.
> Folgern Sie, dass für jede Primzahl p die Existenz eines
> x [mm]\in \IZ[\alpha ][/mm] mit
> [mm]N_{\IQ}^{k}[/mm] (x) = [mm]\pm[/mm] p äquivalent ist zur Lösbarkeit
> der Kongruenz [mm]X^3[/mm] - [mm]2 X^2[/mm] + 2 [mm]\equiv[/mm] 0 (mod p).
Ich fasse also zusammen: [mm] $\IZ[\alpha]$ [/mm] ist der Ganzheitsring und dieser ist ein Hauptidealbereich.
> Soweit so gut, nun hab ich allerdings keine Ahnung, wieso
> für jede Primzahl p die Existenz eines x [mm]\in \IZ[\alpha ][/mm]
> mit
> [mm]N_{\IQ}^{k}[/mm] (x) = [mm]\pm[/mm] p äquivalent ist zur Lösbarkeit
> der Kongruenz [mm]X^3[/mm] - [mm]2 X^2[/mm] + 2 [mm]\equiv[/mm] 0 (mod p).
Dazu brauchst du zwei Dinge:
(a) Die Existenz eines Primideals der Norm $p$ ist aequivalent zu der Existenz eines Elementes der Norm [mm] $\pm [/mm] p$. (Da der Ganzheitsring ein Hauptidealbereich ist.)
(b) Wie das Ideal $p [mm] \IZ[\alpha]$ [/mm] in [mm] $\IZ[\alpha]$ [/mm] in Primideale zerfaellt haengt zusammen damit, wie das Polynom [mm] $X^3 [/mm] - 2 [mm] X^2 [/mm] + 2$ ueber [mm] $\IZ/p\IZ$ [/mm] faktorisiert. (Hier braucht man, dass der Ganzheitsring von [mm] $\alpha$ [/mm] erzeugt wird. Dieses Ergebnis habt ihr sicher in der Vorlesung gehabt.)
> Allerdings weiß ich nicht, was mir das helfen soll.
Vermutlich gar nicht 
> Durch den Zerlegungssatz für Primzahlen weiß ich
> allerdings noch, dass p in O nicht träge ist genau dann,
> wenn f aufgefasst als Polynom in [mm]\IF_p[X][/mm] reduzibel ist,
> was wiederrum äquivalent dazu ist, dass f [mm]\in \IF_p[X][/mm]
> eine Nullstelle in [mm]\IF_p[/mm] hat und das ist äquivalent dazu,
> dass die Kongruenz [mm]X^3[/mm] - [mm]2 X^2[/mm] + 2 [mm]\equiv[/mm] 0 (mod p) lösbar
> ist.
Das ist im Wesentlichen der Teil von (b), den du brauchst.
LG Felix
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Hallo Felix,
danke für die Antwort!
Teil (a) hab ich denk ich zeigen können und Teil (b) steht wie du sagst in der Vorlesung.
Jetzt habe ich allerdings Probleme, die beiden Teile miteinander zu verbinden.
Wenn ich also ein x [mm] \in \IZ[\alpha] [/mm] mit [mm] N_{IQ}^k [/mm] = [mm] \pm [/mm] p habe, dann ist das nach (a) äquivalent zur Existenz eines Primideals P [mm] \subseteq \IZ[\alpha] [/mm] mit N(P) = p. Aber was hat das mit dem Zerlegungsverhalten von [mm] p\IZ[\alpha] [/mm] in [mm] \IZ[\alpha] [/mm] zu tun?
Tut mir Leid, aber bin auf dem Gebiet noch nicht wirklich fit.
Viele Grüße
Anfänger
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:02 Fr 04.01.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Anfaenger!
> Teil (a) hab ich denk ich zeigen können und Teil (b) steht
> wie du sagst in der Vorlesung.
>
> Jetzt habe ich allerdings Probleme, die beiden Teile
> miteinander zu verbinden.
> Wenn ich also ein x [mm]\in \IZ[\alpha][/mm] mit [mm]N_{IQ}^k[/mm] = [mm]\pm[/mm] p
> habe, dann ist das nach (a) äquivalent zur Existenz eines
> Primideals P [mm]\subseteq \IZ[\alpha][/mm] mit N(P) = p.
Genau.
> Aber was hat das mit dem Zerlegungsverhalten von [mm]p\IZ[\alpha][/mm] in
> [mm]\IZ[\alpha][/mm] zu tun?
Nun, $P [mm] \cap \IZ$ [/mm] muss $p [mm] \IZ$ [/mm] sein: damit gilt $p [mm] \in [/mm] P$ und somit $p [mm] \IZ[\alpha] \subseteq [/mm] P$. Die Teilmengenbeziehung von Idealen in Dedekindringen bedeutet Teilbarkeit, womit $P$ in der Primidealzerlegung von $p [mm] \IZ[\alpha]$ [/mm] vorkommt. Also weisst du, dass in der Primidealzerlegung ein Primideal von Norm $p$ vorkommt.
> Tut mir Leid, aber bin auf dem Gebiet noch nicht wirklich
> fit.
Kein Problem :)
LG Felix
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Hallo Felix,
vielen Dank, jetzt hab ich die Aufgabe gelöst!
Viele Grüße
Anfänger
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Fr 04.01.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Anfaenger,
> vielen Dank, jetzt hab ich die Aufgabe gelöst!
schoen :)
LG Felix
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