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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:21 Do 05.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR^4\rightarrow\IR^2 [/mm] definiert durch
[mm] f(x,y)={f_1(x_1,x_2,y_1,y_2) \choose f_2(x_1,x_2,y_1,y_2)}={x_1y_1+e^{x_2}y_1^2-y_2cos(x_1) \choose x_1^2-y_2^2+1}
[/mm]
Zeigen Sie mit dem Auflösungssatz, dass das Gleichungssystem f(x,y)=0 in einer Umgebung von [mm] (\xi,\eta)=(0,0,1,1) [/mm] eine eindeutige stetig differenzierbare Auflösung y=g(x)mit [mm] g(0,0)=\vektor{1 \\ 1} [/mm] besitzt. Berechnen Sie die Ableitung g'(0,0). |
Kann mir einer helfen?
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> Sei [mm]f:R^4 \rightarrow R^2[/mm] definiert durch
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> [mm]f(x,y)={f_1(x_1,x_2,y_1,y_2) \choose f_2(x_1,x_2,y_1,y_2)}={x_1y_1+e^{x_2}y_1^2-y_2cos(x_1) \choose x_1^2-y_2^2+1}[/mm]
>
> Zeigen Sie mit dem Auflösungssatz, dass das
> Gleichungssystem f(x,y)=0 in einer Umgebung von
> [mm](\xi,\eta)=(0,0,1,1)[/mm] eine eindeutige stetig
> differenzierbare Auflösung y=g(x)mit [mm]g(0,0)=\vektor{1 \\ 1}[/mm]
> besitzt. Berechnen Sie die Ableitung g'(0,0).
> Kann mir einer helfen?
Auf jeden Fall kannst du schon mal feststellen, dass für (0,0,1,1) herauskommt:
> [mm]f(x,y)={f_1(0,0,1,1) \choose f_2(0,0,1,1)}={0*1+e^{0}*1^2-1*cos(0) \choose 0^2-1^2+1}=)}={0+1*1^2-1*1 \choose 0-1^2+1}={0 \choose 0}[/mm].
Außerdem weißt du, dass alle vorkommenden Funktionen wie Multiplizieren, Potenzieren usw. stetig sind, also ist es auch die angegebene Fkt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Do 05.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
Danke für deine Antwort.
Ich habe jetzt mit dem Satz die Lösbarkeit gezeigt:
1.) Ableitung berechnen:
[mm] f(x,y)={x_1y_1+e^{x_2}y_1^2-y_2cos(x_1) \choose x_1^2-y_2^2+1}
[/mm]
[mm] f'_y(x,y)=\begin{pmatrix}
x_1-2*e^{x_2} & -cos(x_1) \\
0 & -2y_2
\end{pmatrix}
[/mm]
2.) Punkt einsetzen und Determinante berechnen:
[mm] det(f'_y(0,0,1,1))=det\begin{pmatrix}
-2 & -1 \\
0 & -2
\end{pmatrix}=4>0
[/mm]
Nach dem Auflösungssatz gibt es also eine differenzierbare Auflösung g(x)=y.
Ab hier komme ich nicht weiter, da ich nicht weiß, wie ich mit einer unbekannten Funktion arbeiten soll.
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Vielleicht hilft das totale Differential weiter...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:23 Fr 06.06.2008 | | Autor: | fred97 |
In Deinen Aufzeichnungen findest Du mit Sicherheit ein Formel für die Ableitun der implizit def. Funktion g.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 Fr 06.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
Ich weiß, dass ich g(x) in die Ausgangsgleichung einsetzen und nach x differenzieren soll. Nun spaltet sich mein x aber in [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] auf genauso wie das y. Ich weiß also schon nicht, wie ich mein g(x) richtig in die Gleichung einsetzen soll. In keinem unserer Beispiele gab es eine solche Aufspaltung.
Hat einer von euch mehr Ahnung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 Fr 06.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Schreibe doch mal die Formel für g'(x) auf, und zwar so wie Ihr sie in der Vorlesung bekommen habt.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Fr 06.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
[mm] g'(x)=-\left( \bruch{D_1f(x,g(x))}{D_2f(x,g(x))} \right) [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 Fr 06.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Du dividierst durch D2, D2 ist aber eineMatrix !
Schreibe die Formel doch bitte sauber auf.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Fr 06.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
Meinst du [mm] D_{1}f(x,g(x))+D_{2}f(x,g(x))*g'(x)=0?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 Fr 06.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Das meine ich !!
Setze darin x = (0.0) und beachte g(0,0) = (1,1).
Dann kannst Du g'(0,0) berechnen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Fr 06.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
Mein Problem ist, ich weiß nicht, wie ich mein g(x) richtig einsetze, da sich mein y in [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] aufspaltet.
Ich brauche also die Formel für f(x,g(x)).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Fr 06.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Berechne D1 und D2. Setze in Deine Formel für x (0,0) ein und für y setzt Du (1,1) ein. Die Matri die Du aus D2 bekommst mußt Du noch invertieren.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 Fr 06.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
[mm] f_x(x,y)=\begin{pmatrix}
y_1+y_2*sin(x_1) & y_1^2*x_2*e^{x_2} \\
2*x_1 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] f_y(x,y)=\begin{pmatrix}
x_1+2*e^{x_2}*y_1 & -cos(x_1) \\
0 & -y_2
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] -f_y(x,y)^{-1}=-\left( \bruch{1}{(-x_1*y_2-2*y_1*y_2*e^x_2)-(0*(-cos(x_1))} \right)*\begin{pmatrix}
-y_2 & cos(x_1) \\
0 & x_1+2*e^{x_2}*y_1
\end{pmatrix}
[/mm]
Eingestzt ergibt dies:
[mm] g'(0,0)=-(-\left( \bruch{1}{2} \right))\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
0 & 2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-\left( \bruch{1}{2} \right) & \left( \bruch{1}{2} \right) \\
0 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
Die linke Matrix ist von [mm] D_1 [/mm] und die rechte von [mm] D_2.
[/mm]
Stimmt das so?
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Hallo DerGraf,
> [mm]f_x(x,y)=\begin{pmatrix}
y_1+y_2*sin(x_1) & y_1^2*x_2*e^{x_2} \\
2*x_1 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
Stimmt nicht ganz:
[mm]f_x(x,y)=\begin{pmatrix}
y_1+y_2*sin(x_1) & \red{y_1^2**e^{x_2}} \\
2*x_1 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]f_y(x,y)=\begin{pmatrix}
x_1+2*e^{x_2}*y_1 & -cos(x_1) \\
0 & -y_2
\end{pmatrix}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]-f_y(x,y)^{-1}=-\left( \bruch{1}{(-x_1*y_2-2*y_1*y_2*e^x_2)-(0*(-cos(x_1))} \right)*\begin{pmatrix}
-y_2 & cos(x_1) \\
0 & x_1+2*e^{x_2}*y_1
\end{pmatrix}[/mm]
[mm]-f_y(x,y)^{-1}=-\left( \bruch{1}{-\red{2}*\left((x_1*y_2+2*y_1*y_2*e^x_2)-(0*(-cos(x_1))\right)} \right)*\begin{pmatrix}
-\red{2}y_2 & cos(x_1) \\
0 & x_1+2*e^{x_2}*y_1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Eingestzt ergibt dies:
>
> [mm]g'(0,0)=-(-\left( \bruch{1}{2} \right))\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
0 & 2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-\left( \bruch{1}{2} \right) & \left( \bruch{1}{2} \right) \\
0 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
Das mußt Du nochmal nachrechnen.
>
> Die linke Matrix ist von [mm]D_1[/mm] und die rechte von [mm]D_2.[/mm]
> Stimmt das so?
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:28 Fr 06.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
Vielen Dank. Mit deinen korrigierten Werten komme ich jetzt auf:
[mm] \left( \bruch{1}{4} \right)*\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
-2 & 1 \\
0 & 2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-\left( \bruch{1}{2} \right) & \left( \bruch{3}{4} \right) \\
0 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
Vielen Dank für eure Geduld mit mir :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 Fr 06.06.2008 | | Autor: | MathePower |
Hallo DerGraf,
> Vielen Dank. Mit deinen korrigierten Werten komme ich jetzt
> auf:
> [mm]\left( \bruch{1}{4} \right)*\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
-2 & 1 \\
0 & 2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-\left( \bruch{1}{2} \right) & \left( \bruch{3}{4} \right) \\
0 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
Irgendwie hast Du da die Matrizen vertauscht.
Hier wird berechnet: [mm]-X_{0}*Y_{0}^{-1}[/mm]
mit [mm]X_{0}=\pmat{1 & 1 \\ 0 & 0}, \ Y_{0}=\pmat{2 & -1 \\ 0 & -2}[/mm]
Zu berechnen ist aber: [mm]-Y_{0}^{-1}*X_{0}[/mm]
>
> Vielen Dank für eure Geduld mit mir :)
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Sa 07.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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