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| Aufgabe | Seien [mm] $f,g:I\to\IR$ [/mm] lipschitzstetige Funktionen auf dem Intervall [mm] $I,\lambda\in\IR$. [/mm] zeigen Sie die Lipschitzstetigkeit für foglende Funktionen:
(a) [mm] $\lambda [/mm] f(x)$ $(x [mm] \in [/mm] I)$ |
Hallo.
Mein Problem ist die letzte Zeile der Rechnung, also [mm] L_{1}=(\left| \lambda \right|+1)*L.
[/mm]
Wo kommt das + 1 in der Klammer plötzlich her und warum wird L mit dem Index 1, also [mm] L_{1}, [/mm] versehen?
Vielen Dank.
Zunächst die Definition:
$f$ lipschitzstetig [mm] $\gdw$ $\exists [/mm] L>0 [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in I:\left| f(x)-f(y) \right|\le L*\left| x-y \right|$
[/mm]
Dann gilt: für alle $x,y [mm] \in [/mm] I$:
[mm] \left| \lambda f(x)-\lambda f(y) \right|
[/mm]
= [mm] \left| \lambda(f(x)-f(y)) \right|
[/mm]
= [mm] \left| \lambda \right|*\left| f(x)-f(y) \right|
[/mm]
[mm] \le \left| \lambda \right|*L*\left| x-y \right|
[/mm]
[mm] \le (\left| \lambda \right|+1)*L*\left| x-y \right|
[/mm]
[mm] L_{1}=(\left| \lambda \right|+1)*L
[/mm]
und für dieses [mm] L_{1} [/mm] gilt [mm] L_{1}>0.
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Mi 17.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Soweit dürfte es klar sein:
Für alle $ x,y [mm] \in [/mm] I $:
(*) $ [mm] \left| \lambda f(x)-\lambda f(y) \right| [/mm] $= $ [mm] \left| \lambda(f(x)-f(y)) \right| [/mm] $= $ [mm] \left| \lambda \right|\cdot{}\left| f(x)-f(y) \right| [/mm] $ $ [mm] \le \left| \lambda \right|\cdot{}L\cdot{}\left| x-y \right| [/mm] $
Warscheinlich habt Ihr definiert: eine Funktion h heißt auf I Lipschitzstetig, wenn es ein L>0 gibt mit:
$|h(x)-h(y)| [mm] \le [/mm] L|x-y|$.
Wie gesagt: L>0
Zurück zu (*). Jetzt könnte man setzen [mm] $L_1:= |\lambda|*L$ [/mm] und hätte
(**) $ [mm] \left| \lambda f(x)-\lambda f(y) \right|= L_1|x-y|$
[/mm]
Im Falle [mm] \lambda [/mm] = 0 ist aber [mm] L_1=0.
[/mm]
Damit man keine Fallunterscheidung machen muß wurde gesetzt: [mm] $L_1:= (|\lambda|+1)*L$ [/mm] . Dann ist [mm] L_1 [/mm] sicherlich positiv und es gilt (**)
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:09 Mi 17.03.2010 | | Autor: | el_grecco |
Vielen Dank für die ausführliche Erklärung, Fred.
Schade, dass das in den "Musterlösungen" nicht auch so erklärt wird...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:14 Mi 17.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für die ausführliche Erklärung, Fred.
> Schade, dass das in den "Musterlösungen" nicht auch so
> erklärt wird...
Übrigends: oft findest Du auch folgende Def.: h heißt Lipschitzstetig, wenn es ein L [mm] \ge [/mm] 0 gibt mit:
$|h(x)-h(y)| [mm] \le [/mm] L|x-y|$
Also L=0 ist zugelassen. Aber ist L=0, so ist h konstant, also alles andere als prickelnd.
FRED
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