Lipschitzraum = Banachraum? < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Mo 07.05.2007 | | Autor: | Dhana |
| Aufgabe | Sei X der Vektorraum aller Lipschitz-stetigen Funktionen von [0, 1] nach R. Für f aus X setze:
[mm]\parallel f \parallel _{Lip} = |f(0)| + \sup_{s\not=t}|\bruch{x(s)-x(t)}{s-t}| [/mm]
Beweisen oder widerlegen Sie: X mit dieser Norm ist Banachraum. |
In der vorherigen Teilaufgabe hat man schon gezeigt, daß es sich bei der Lip-Norm um eine Norm handelt und diese immer größer oder gleich der Supremumsnorm ist.
Jetzt hab ich mit einer Funktionenfolge [mm]f_n[/mm] die bzgl Lip-Norm Cauchy-Folge ist begonnen. Diese Folge ist auch Cauchy-Folge im C[0, 1] und auch bzgl. der Supremumsnorm wg. Teilaufgabe a.
Nun konvergiert diese Folge im C[0,1] bzgl. der Supremumsnorm und die Grenzfunktion nenne ich f.
Jetzt versuche ich [mm]|| f - f_n|_{Lip}|[/mm] abzuschätzen und komme dabei zum Summanden
[mm]\sup_{s\not=t}|\bruch{f(s)-f(t)}{s-t} - \bruch{f_n(s)-f_n(t)}{s-t}|[/mm]
Diesen würde ich gerne wg. des Mittelwertsatzes (?) und dem abgeschlossenen Intervall mit dem Supremum der Differenz der Ableitungen nach oben abschätzen und dann aufgrund der Konvergenz in C[0,1] und der Lipschitzstetigkeit die Konvergenz der Ableitungen [mm]f_n'(x)[/mm] gegen [mm]f'(x)[/mm] folgern um dann die Differenz abzuschätzen. Darf ich das oder ist das der völlig falsche Weg?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo dhana,
> Sei X der Vektorraum aller Lipschitz-stetigen Funktionen
> von [0, 1] nach R. Für f aus X setze:
>
> [mm]\parallel f \parallel _{Lip} = |f(0)| + \sup_{s\not=t}|\bruch{x(s)-x(t)}{s-t}|[/mm]
>
> Beweisen oder widerlegen Sie: X mit dieser Norm ist
> Banachraum.
> In der vorherigen Teilaufgabe hat man schon gezeigt, daß
> es sich bei der Lip-Norm um eine Norm handelt und diese
> immer größer oder gleich der Supremumsnorm ist.
>
> Jetzt hab ich mit einer Funktionenfolge [mm]f_n[/mm] die bzgl
> Lip-Norm Cauchy-Folge ist begonnen. Diese Folge ist auch
> Cauchy-Folge im C[0, 1] und auch bzgl. der Supremumsnorm
> wg. Teilaufgabe a.
>
> Nun konvergiert diese Folge im C[0,1] bzgl. der
> Supremumsnorm und die Grenzfunktion nenne ich f.
>
> Jetzt versuche ich [mm]|| f - f_n|_{Lip}|[/mm] abzuschätzen und
> komme dabei zum Summanden
>
> [mm]\sup_{s\not=t}|\bruch{f(s)-f(t)}{s-t} - \bruch{f_n(s)-f_n(t)}{s-t}|[/mm]
>
> Diesen würde ich gerne wg. des Mittelwertsatzes (?) und dem
> abgeschlossenen Intervall mit dem Supremum der Differenz
> der Ableitungen nach oben abschätzen und dann aufgrund der
> Konvergenz in C[0,1] und der Lipschitzstetigkeit die
> Konvergenz der Ableitungen [mm]f_n'(x)[/mm] gegen [mm]f'(x)[/mm] folgern um
> dann die Differenz abzuschätzen. Darf ich das oder ist das
> der völlig falsche Weg?
Nein, das darfst du nicht.... :-( Lipschitz-stetige funktionen sind im allgemeinen nicht diffbar, eine ableitung muss also nicht existieren!
Schau mal bei diesem![[]](/images/popup.gif) Link, vielleicht hilft dir der tip dort weiter?!
ansonsten steht das garantiert in 'Lineare FA' von Alt....
VG
Matthias
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:17 Mi 09.05.2007 | | Autor: | Dhana |
Danke, ich glaub damit hab ich es jetzt geschafft :)
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