Lipschitz stetig im R2 < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:54 So 17.04.2011 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | Zeigen Sie
[mm]f(x,y) = \bruch{1}{x^2}+\bruch{1}{y^2}[/mm]
ist auf $ [1,2] [mm] \times [/mm] [1,3] $ Lipschitz-Stetig. |
Die Bedingung lautet ja
[mm] |f(\vec{x_1})-f(\vec{x_2}|\le L||\vec{x_1}-\vec{x_2}|| [/mm]
Das, was auf der rechten Seite der Ungleichung steht, ist das die Zweier-Norm, also
[mm] L \wurzel{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} [/mm] ?
thx
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 So 17.04.2011 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | Zeigen Sie
[mm]f(x,y) = \bruch{1}{x^2}+\bruch{1}{y^2}[/mm]
ist auf $ [1,2] [mm] \times [/mm] [1,3] $ Lipschitz-Stetig. |
Es könnte total falsch sein, aber hier mein Versuch:
[mm] \left|\bruch{1}{x_1^2} + \bruch{1}{y_1^2} - \bruch{1}{x_2^2}-\bruch{1}{y_2^2}\right| \le \left|\bruch{1}{x_1^2} - \bruch{1}{x_2^2}\right| + \left|\bruch{1}{y_1^2}-\bruch{1}{y_2^2}\right| = \left| \bruch{x_2^2-x_1^2}{x_1^2x_2^2} \right| +\left| \bruch{y_2^2-y_1^2}{y_1^2y_2^2} \right| = \bruch{|x_2-x_1| |x_2+x_1|}{x_1^2x_2^2} + \bruch{|y_2-y_1| |y_2+y_2|}{y_1^2y_2^2} \le 6 (|x_2-x_1| + |y_2-y_1|) = 6 || \vec{x_1}-\vec{x_2}||[/mm]
Lipschitz Konstante L = 6 ?
(Bei der letzten Abschätzung setze ich im Zähler jeweils den Max-Wert 3 und im Nenner den Min-Wert 1 ein)
Beim letzten Rechenschritt bin ich mir besonders unsicher. Müsste man da nicht nochmal abschätzen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:16 Mo 18.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie
> [mm]f(x,y) = \bruch{1}{x^2}+\bruch{1}{y^2}[/mm]
> ist auf [mm][1,2] \times [1,3][/mm]
> Lipschitz-Stetig.
>
>
> Es könnte total falsch sein, aber hier mein Versuch:
>
> [mm]\left|\bruch{1}{x_1^2} + \bruch{1}{y_1^2} - \bruch{1}{x_2^2}-\bruch{1}{y_2^2}\right| \le \left|\bruch{1}{x_1^2} - \bruch{1}{x_2^2}\right| + \left|\bruch{1}{y_1^2}-\bruch{1}{y_2^2}\right| = \left| \bruch{x_2^2-x_1^2}{x_1^2x_2^2} \right| +\left| \bruch{y_2^2-y_1^2}{y_1^2y_2^2} \right| = \bruch{|x_2-x_1| |x_2+x_1|}{x_1^2x_2^2} + \bruch{|y_2-y_1| |y_2+y_2|}{y_1^2y_2^2} \le 6 (|x_2-x_1| + |y_2-y_1|) = 6 || \vec{x_1}-\vec{x_2}||[/mm]
Das letzte "=" stimmt nicht.
Es gilt: $ [mm] |x_2-x_1| \le [/mm] || [mm] \vec{x_1}-\vec{x_2}|| [/mm] $ und [mm] $|y_2-y_1| \le [/mm] || [mm] \vec{x_1}-\vec{x_2}||.$
[/mm]
Damit bekommst Du am Ende: $ [mm] \le [/mm] 12*|| [mm] \vec{x_1}-\vec{x_2}||.$
[/mm]
>
> Lipschitz Konstante L = 6 ?
>
> (Bei der letzten Abschätzung setze ich im Zähler jeweils
> den Max-Wert 3 und im Nenner den Min-Wert 1 ein)
>
> Beim letzten Rechenschritt bin ich mir besonders unsicher.
> Müsste man da nicht nochmal abschätzen?
S.0.
Viel einfacher gehts so:
Wir setzen $R:= [1,2] [mm] \times [/mm] [1,3] $ , R ist kompakt.
Es ist grad f auf R stetig, also ex. ein L [mm] \ge [/mm] 0 mit: $||grad f(c)|| [mm] \le [/mm] L$ für jedes c [mm] \in [/mm] R.
Nimm a,b [mm] \in [/mm] R. Nach dem Mittelwersatz gibt es ein c [mm] \in [/mm] R mit:
f(b)-f(a)= gradf(c)*(b-a)
Mit der Cauchy-Schwarzschen Ungl. folgt:
$|f(b)-f(a)| [mm] \le [/mm] ||gradf(c)||*||b-a|| [mm] \le [/mm] L*||b-a||$
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:49 Mo 18.04.2011 | | Autor: | BarneyS |
Top! :)
Vielen Dank für die Antwort!
B
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