Lipschitz Konstante < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | i) f(x) = (0,1) [mm] \to \IR [/mm] x [mm] \mapsto \bruch{1}{x}
[/mm]
ii) f(x) = (0,1) [mm] \to \IR [/mm] x [mm] \mapsto \wurzel{x}
[/mm]
gibt es in i) bzw ii) eine konstante L > 0 , sodass | f(x)-f(y)| [mm] \le L\* [/mm] |x-y| ? |
hey^^
zu i: Nein, denn nach Def der Lipschitz -Konstante muss f'(x) beschränkt sein. Da f'(x) =- [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] z.b. von x < 0 gegen 0 asymptotisch in Richtung + [mm] \infty [/mm] steigt, und man daher keine Konstante finden kann, sodass f'(x) [mm] \le [/mm] L.
zu ii) nein, denn f(x) = (0,1) [mm] \to \IR [/mm] x [mm] \mapsto \wurzel{x}
[/mm]
f'(x) = [mm] \bruch{1}{2\* \wurzel{x}} [/mm] verhält sich ähnlich wie i) (also selbe Begründung , nur + [mm] \infty [/mm] bei x > 0 gegen 0)
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Hiho,
> zu i: Nein, denn nach Def der Lipschitz -Konstante muss
> f'(x) beschränkt sein. Da f'(x) =- [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm] z.b.
> von x < 0 gegen 0 asymptotisch in Richtung + [mm]\infty[/mm] steigt,
> und man daher keine Konstante finden kann, sodass f'(x) [mm]\le[/mm]
> L.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> zu ii) nein, denn f(x) = (0,1) [mm]\to \IR[/mm] x [mm]\mapsto \wurzel{x}[/mm]
> f'(x) = [mm]\bruch{1}{2\* \wurzel{x}}[/mm] verhält sich ähnlich
> wie i) (also selbe Begründung , nur + [mm]\infty[/mm] bei x > 0
> gegen 0)
Mach dir noch klar, dass die Begründung "Nein, denn nach Def der Lipschitz -Konstante muss f'(x) beschränkt sein" natürlich nur Sinn macht, wenn f' überhaupt existiert.
Das ist hier ja aber gegeben, insofern => ok
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:36 Mo 13.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> i) f(x) = (0,1) [mm]\to \IR[/mm] x [mm]\mapsto \bruch{1}{x}[/mm]
> ii) f(x)
> = (0,1) [mm]\to \IR[/mm] x [mm]\mapsto \wurzel{x}[/mm]
>
>
> gibt es in i) bzw ii) eine konstante L > 0 , sodass |
> f(x)-f(y)| [mm]\le L\*[/mm] |x-y| ?
> hey^^
>
> zu i: Nein, denn nach Def der Lipschitz -Konstante muss
> f'(x) beschränkt sein. Da f'(x) =- [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm] z.b.
> von x < 0 gegen 0 asymptotisch in Richtung + [mm]\infty[/mm] steigt,
> und man daher keine Konstante finden kann, sodass f'(x) [mm]\le[/mm]
> L.
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> zu ii) nein, denn f(x) = (0,1) [mm]\to \IR[/mm] x [mm]\mapsto \wurzel{x}[/mm]
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> f'(x) = [mm]\bruch{1}{2\* \wurzel{x}}[/mm] verhält sich ähnlich
> wie i) (also selbe Begründung , nur + [mm]\infty[/mm] bei x > 0
> gegen 0)
Bei i) und ii) kommt man auch ohne die Ableitung aus. Bei i) mach ich Dir es vor:
Annahme: es ex. L [mm] \ge [/mm] 0 mit |f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] L|x-y| für alle x,y [mm] \in [/mm] (0,1)
Setzt man y=1/2, so folgt:
2-x [mm] \le [/mm] 2L|x-1/2| für alle x [mm] \in [/mm] (0,1).
Mit x [mm] \to [/mm] 0 bekommen wir den Widerspruch
2 [mm] \le [/mm] 0.
FRED
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