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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Do 09.06.2011 | | Autor: | kalor |
Guten Abend
Vielleicht sehe ich ja den Wald vor lauter Bäumen nicht, aber ein Satz in einem Vorlesungsskript hat mich vollkommen verwirrt. Also bitte entschuldigt, wenn es eine dumme Frage ist.
Es wird gezeigt, dass für ein Intervall $\ I $ auf [mm] \IR [/mm] folgende Dinge für ein [mm] f \in L^p(I),1 < p \le \infty [/mm] äquivalent sind.
1. [mm] f \in W^{1,p}(I) [/mm]
2. Es existiert eine Konstante $\ L $ so dass für alle Intervalle $\ I' $, welche kompakt in $\ I $ enthalten sind und $\ h [mm] \in \IR [/mm] $ genügend klein, folgendes gilt: [mm]\parallel f(x+h)-f(x)\parallel_{L^p(I')} \le L|h| [/mm]
Wobei in 1. mit W der Sobolev-Raum gemeint ist. Nun wird als Folgerung gesagt, dass also [mm] f \in W^{1,\infty}(I) \gdw f[/mm] lipschitz-stetig ist.
Meine (dumme) Frage nun: Wieso gilt dies nur für $\ p = [mm] \infty [/mm] $ ? Die Ungleichung stimmt ja für alle p echt grösser 1. Und zwei gibt ja dann immer Lipschitz-Stetigkeit.
mfg
KaloR
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Hallo,
ich würde sagen, weil
[mm]\parallel f(x+h)-f(x)\parallel_{L^{\infty}(I')}=\sup_{I'}|f(x+h)-f(x)|[/mm]
und Lipschitz-Stetigkeit ist
$|f(x+h)-f(x)| [mm] \leq [/mm] L|h|$ für alle $h$ genügend klein.
Die folgt also daraus, aber [mm] $L^p$ [/mm] norm für [mm] $1
[mm]\parallel f(x+h)-f(x)\parallel_{L^p(I')}= \left(\int_{I'}|f(x+h)-f(x)|^p dx \right)^{\bruch{1}{p}}[/mm]
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