Lipschitz-stet: Lsg. zu zeigen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man betrachte
(1)
[mm] $\dot{x}(t)=\frac{e^t-x}{e^x+t}=:f(t,x)$
[/mm]
$x(0)=0$
a) und zeige, dass die max. Lösung für alle $t [mm] \geq [/mm] 0$ definiert ist,
b) berechne den Grenzwert [mm] $\lim \limits_{t \to \infty} [/mm] x(t)$
c) berechne, dass die max. neg. Existenz Zeit $t^- $ endlich ist |
zu a)
Ich habe einen Satz, der sagt folgendes aus:
Wenn $f(t,x)$ stetig in $x$ und in $t$ UND Lipschitz-stetig in $x$, dann ist die Lösung des obengenannten Problems (1) für alle $t [mm] \geq [/mm] 0$ definiert.
Da aber $f(t,x)$ weder in $t$, noch in $x$ linear ist, reicht es mir also nicht, die Beschränktheit zu zeigen, um Stetigkeit zu folgern? Berechnungen wie $f(t,x)-f(t,y)$ oder [mm] $f(t_1,x)-f(t_2,x)$ [/mm] führen mich nicht auf ein Ergebnis, dass ich dann irgendetwas mit $(x-y)$ oder [mm] $t_1-t_2$ [/mm] hätte, um Stetigkeit oder (im Falle der Variable $x$) Lipschitz-stetigkeit zu zeigen.
zu b)
Ich glaube, hierzu brauche ich ja a). Ich denke, wenn ich a) hätte, wäre hier meine Idee ganz gut, denn ich würde so abschätzen:
[mm] $|x(t)|=|x(0)+\int \limits_{0}^t \dot{x} [/mm] dt|= [mm] |\int \limits_{0}^t [/mm] f(t,x) dt | [mm] \leq [/mm] ...$
Wenn ich also in a) eine obere Schranke für |f(t,x)| finden könnte, dann ist b) ev. viel einfacher ?
zu c)
Hier bin ich noch nicht so weit. Man muss irgendwie zeigen, dass [mm] $\lim \limits_{t \to - \infty} [/mm] x(t) [mm] \neq \infty$ [/mm] und [mm] $\neq -\infty$ [/mm] ist oder?
Also wenn ich bei a) und b) schon mal weiter wäre, vlt. weiss jemand Rat?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:33 Fr 02.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo die Lipschitzstetigkeit kannst du über die Ableitung der fkt nach x zeigen.
[mm] f'(\xi)*(x-x_0)=f(x)-f(x_0)
[/mm]
Gruß leduart
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Hallo Leduart
Danke dir. Aber das bringt mich jetzt überhaupt nicht weiter?
[mm] $|f(x)-f(x_0)|=|f'(\chi)(x-x_0)|=|\frac{e^{\chi}(\chi-1)-t-e^t}{(e^\chi+t)^2}(x-x_0)|$
[/mm]
[mm] $\leq |\underbrace{\frac{e^\chi(\chi-1)}{(e^\chi+t)^2}}_{\psi(\chi,t)}| |x-x_0| [/mm] $
Aber [mm] $\psi(\chi,t)$ [/mm] ist von [mm] $\chi$ [/mm] abhängig und deshalb wohl kaum eine "Konstante"?
Was muss hier getan werden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Fr 02.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
abschätzen, was ist der maximale Wert in D
Gru0 leduart
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Hallo
$ [mm] \leq |\underbrace{\frac{e^\chi(\chi-1)}{(e^\chi+t)^2}}_{\psi(\chi,t)}| |x-x_0| [/mm] $
$| [mm] \psi(\chi,t) [/mm] | [mm] \leq |\frac{\chi-1}{e^\chi} [/mm] |=: [mm] \xi(\chi)$ [/mm] weil ja $t [mm] \geq [/mm] 0$
Wenn ich [mm] $\xi(\chi)$ [/mm] plotte, sehe ich, dass die Funktion immer sehr klein ist?? Ausserdem ist [mm] $\xi(0)=1$ [/mm] aber wie kann ich folgern, dass das für alle [mm] $\xi \in \mathbb{R}$ [/mm] gilt?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 So 04.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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