Lipschitz-Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:54 Mi 28.11.2012 | | Autor: | vivo |
Hallo,
man betrachte eine Funktion [mm]f(\cdot)[/mm], die auf [mm]\IR_+ \cup \{0\}[/mm] Lipschitz-stetig ist. Dies hinreichender Weise nachzuweisen, dadurch dass die erste Ableitung auf [mm]\IR_+ \cup \{0\}[/mm] beschränkt ist. Weiter sei die Funktion [mm]f(\cdot)[/mm] nicht auf ganz [mm]\IR_-[/mm] definiert.
Ist [mm]f(|x|)[/mm] auf ganz [mm]\IR[/mm] Lipschitz-Stetig?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:08 Mi 28.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> man betrachte eine Funktion [mm]f(\cdot)[/mm], die auf [mm]\IR_+ \cup \{0\}[/mm]
> Lipschitz-stetig ist. Dies hinreichender Weise
> nachzuweisen, dadurch dass die erste Ableitung auf [mm]\IR_+ \cup \{0\}[/mm]
> beschränkt ist. Weiter sei die Funktion [mm]f(\cdot)[/mm] nicht auf
> ganz [mm]\IR_-[/mm] definiert.
>
> Ist [mm]f(|x|)[/mm] auf ganz [mm]\IR[/mm] Lipschitz-Stetig?
Na klar:
f ist Lip. -stetig auf [0, [mm] \infty), [/mm] also gibt es ein L [mm] \ge [/mm] 0 mit:
$|f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] L|x-y|$ für alle x,y [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty).
[/mm]
Sei g(x):=f(|x|) für x [mm] \in \IR. [/mm] Dann ist
$|g(x)-g(y)| = |f(|x|)-f(|y|)| [mm] \le [/mm] L | |x|-|y|| [mm] \le [/mm] L|x-y|$ für alle x,y [mm] \in \IR.
[/mm]
FRED
>
> Vielen Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Mi 28.11.2012 | | Autor: | vivo |
Danke ! .-)
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