Liouvillsche Lambda-Funktion < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Mi 23.05.2007 | | Autor: | Docy |
| Aufgabe | Die Liouvillesche [mm] \lambda-Funktion [/mm] ist definiert durch [mm] \lambda(1)=1 [/mm] und
[mm] \lambda(n)=(-1)^{\alpha_1+...+\alpha_r}
[/mm]
falls n= [mm] \produkt_{i=1}^{r}p_i^\alpha_i [/mm] die Primzerlegung von n ist. Zeigen Sie:
1. [mm] \lambda [/mm] ist multiplikativ
2. [mm] \summe_{d|n}\lambda(d) [/mm] = [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{falls} n \mbox{ Quadratzahl ist} \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
|
Hallo alle zusammen,
die 1. habe ich bereits gezeigt, aber bei der zwei weiß ich leider nicht weiter, kann mir bitte jemand helfen?
Gruß
Docy
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 Mi 23.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Ich würde das mit vollständiger Induktion nach Anzahl der Primfaktoren zeigen
Basis ein primfaktor:
sei [mm] n=p^{\alpha} [/mm] dann ist [mm] \summe_{d|n}^{} \lambda(d)=\summe_{k=0}^{\alpha}\lambda(p^k)
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{\alpha}(-1)^k \begin{cases} 1, & \mbox{für } \alpha \mbox{ gerade, und daher n Quadratzahl} \\ 0, & \mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
Die Aussage stimme jetzt für n mit k-1 Primfaktoren
m hätte nun k Primfaktoren dann ist ja [mm] m=n*p_k^{\alpha_k}
[/mm]
und n hat k-1 Primfaktoren für das die Induktionsvorauss. ja gilt
[mm] \summe_{d|m}^{} \lambda(d)=\summe_{j=0}^{\alpha_k} \summe_{d|n}^{}{} \lambda(dp^j)
[/mm]
wgen Multiplikativität
= [mm] \summe_{j=0}^{\alpha_k} (\summe_{d|n}^{}{} \lambda(d)*\lambda(p^j))=
[/mm]
= [mm] \summe_{j=0}^{\alpha_k} (\summe_{d|n}^{}{} \lambda(d)*(-1)^j [/mm] )=
= [mm] \summe_{j=0}^{\alpha_k}( (-1)^j*(\summe_{d|n}^{}{} \lambda(d)))=
[/mm]
=( [mm] \summe_{j=0}^{\alpha_k} (-1)^j )*(\summe_{d|n}^{}{} \lambda(d)) [/mm] =
1 wenn beide faktoren 1 sind und das ist nur der Fall wenn n Quadratzahl (nach Ind.vorauss) und [mm] a_k [/mm] gerade udn daher m eine Quadratzahl ist - ansonsten 0 qed
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:03 Mi 23.05.2007 | | Autor: | Docy |
Hallo wauwau,
wie kommst du auf
[mm] \summe_{d|m}^{} \lambda(d)=\summe_{j=0}^{\alpha_k} \summe_{d|n}^{}{} \lambda(dp^j)
[/mm]
???
Wäre nett, wenn du mir da weiterhelfen könntest.
Gruß
Docy
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 25.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
