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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:00 Mo 29.05.2006 | | Autor: | sonisun |
| Aufgabe | | die Kleinsche Vierergruppe [mm] K_4:={id, (12)* (34), (13)*(24), (14)*(23)} [/mm] ist eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe [mm] S_4. [/mm] Wie sehen die Linksnebenklassen bezüglicher dieser Gruppe aus? |
hallo,
ich habe mir überlegt, dass es wegen Lagrange 6 Linksnebenklassengeben muss: also weil 24:4=6 und S4 ja 24 Elemente hat und [mm] K_4 [/mm] ja 4.
doch mir ist nicht klar wie Linksnebenklassen aussehen. ich hatte mit denen noch nie was zu tun und jetzt muss ich morgen früh diese Frage abgeben und weiß net weiter (sorry, dass ich so spät dran bin)
Kann mir jemand helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:15 Di 30.05.2006 | | Autor: | djmatey |
> die Kleinsche Vierergruppe [mm]K_4:={id, (12)* (34), (13)*(24), (14)*(23)}[/mm]
> ist eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe [mm]S_4.[/mm] Wie
> sehen die Linksnebenklassen bezüglicher dieser Gruppe aus?
> hallo,
Hi!
> ich habe mir überlegt, dass es wegen Lagrange 6
> Linksnebenklassengeben muss: also weil 24:4=6 und S4 ja 24
> Elemente hat und [mm]K_4[/mm] ja 4.
Genau!
> doch mir ist nicht klar wie Linksnebenklassen aussehen.
> ich hatte mit denen noch nie was zu tun und jetzt muss ich
> morgen früh diese Frage abgeben und weiß net weiter
Eine Linksnebenklasse (LNK) einer Gruppe G bzgl. einer Untergruppe H ist definiert als
gH = {gh | h [mm] \in [/mm] H},
Du nimmst Dir also ein Element aus G und berechnest das Produkt (bzgl. der Gruppenverknüpfung) von rechts mit allen Elementen aus der Untergruppe. Die entstehende Menge ist eine LNK.
Rechtsnebenklassen (RNK) sind entsprechend als Hg definiert. Für jedes g in G gibt es also eine RNK und eine LNK. LNK sind entweder gleich oder disjunkt. G ist disjunkte Vereinigung der verschiedenen LNK.
Beim Berechnen ist das insofern hilfreich, als Du bei einer LNK nur so lange zu rechnen brauchst, bist Du ein Element findest, das schon in einer anderen LNK auftaucht. Dann sind die LNK schon gleich. Ich fürchte aber, dass die Berechnung in diesem speziellen Fall mit den ganzen Permutationen ein ganz schönes Gedrehe wird - pass' auf, dass Dir nicht schlecht wird! 
(sorry,
> dass ich so spät dran bin)
kein problem, bin nachtmensch 
> Kann mir jemand helfen?
hoffe, das konnte ich!?
lg matthias
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