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Hallo,
ich habe die Aufgabe versucht zu rechnen aber ich bin mir nicht sicher ob das alles so richtig ist, wäre dankbar für tipps wenn es nicht stimmt, dank euch.
Aufgabe:
Der Wert es Linienintegrals [mm] \integral_{}^{}{ye^x dx + yx^2 dy} [/mm] ist zu berechnen und zwar für den Weg des geradlinigen Hakens von (0/0) über (2/0) nach (2/2).
Meine Lösung:
[mm] \integral_{0}^{2}{ye^x dx}+\integral_{0}^{2}{yx^2 dy}
[/mm]
[mm] =(e^2-1)y+2x^2
[/mm]
War das schon alles??
Was ist mit dem Punkt (2/2) soll man den in die ermittelte Gleichung einsetzen?
Grüße
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Hallo mr.states,
> Hallo,
> ich habe die Aufgabe versucht zu rechnen aber ich bin mir
> nicht sicher ob das alles so richtig ist, wäre dankbar für
> tipps wenn es nicht stimmt, dank euch.
>
> Aufgabe:
> Der Wert es Linienintegrals [mm]\integral_{}^{}{ye^x dx + yx^2 dy}[/mm]
> ist zu berechnen und zwar für den Weg des geradlinigen
> Hakens von (0/0) über (2/0) nach (2/2).
>
> Meine Lösung:
> [mm]\integral_{0}^{2}{ye^x dx}+\integral_{0}^{2}{yx^2 dy}[/mm]
>
> [mm]=(e^2-1)y+2x^2[/mm]
>
> War das schon alles??
> Was ist mit dem Punkt (2/2) soll man den in die ermittelte
> Gleichung einsetzen?
Der Weg von [mm]\left(0,0\right) \to \left(2,0\right)[/mm] ist zu parametrisieren. Mit Hilfe dieser Parametrisierung berechnet Du den Wert des Integrals für diesen Weg.
Dasselbe gilt natürlich auch für den Weg von [mm]\left(2,0\right) \to \left(2,2\right)[/mm]
Der Wert des Integrals über den Weg von [mm]\left(0,0\right) \to \left(2,0\right) \to \left(2,2\right)[/mm] ist nun die Summe aus den beiden Integralen über die Wege [mm]\left(0,0\right)\to \left(2,0\right)[/mm] und [mm]\left(2,0\right) \to \left(2,2\right)[/mm].
> Grüße
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 Sa 21.06.2008 | | Autor: | mr.states |
Danke für die schnelle Antwort.
ich habe mir auch eine kleine Zeichnung gemacht.
da hatte ich das auch gesehen wie man es ungefähr lösen kann.
nur das Problem ist wie setze ich die Grenzen ein.
das habe ich leider immer noch nicht so ganz verstanden.
Danke für einen Tipp
grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 Sa 21.06.2008 | | Autor: | MathePower |
Hallo mr.states,
> Danke für die schnelle Antwort.
> ich habe mir auch eine kleine Zeichnung gemacht.
> da hatte ich das auch gesehen wie man es ungefähr lösen
> kann.
> nur das Problem ist wie setze ich die Grenzen ein.
> das habe ich leider immer noch nicht so ganz verstanden.
>
> Danke für einen Tipp
> grüße
Die Grenzen für t kannst Du frei wählen. Hier bei den Wegen kannst Du z.B. t=0 für den Anfangspunkt und t=1 für den Endpunkt wählen.
Hast eine Parametrisierung
[mm]x=x\left(t\right), \ y=y\left(t\right)[/mm]
gefunden,
so ergibt das Integral für den ersten Weg zu:
[mm] \integral_{}^{}{ye^x dx + yx^2 dy} = \integral_{0}^{1}{\left(y\left(t\right)*e^{x\left(t\right)}*\bruch{dx\left(t\right)}{dt} +y\left(t\right)*x^{2}\left(t\right)* \bruch{dy\left(t\right)}{dt}\right)\ dt}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:26 Sa 21.06.2008 | | Autor: | mr.states |
Hallo, erstmal vielen Dank für die Antwort.
Obwohl ich mich gerade mit einem Freund darüber unterhalten habe und im Band 1 vom Papula "Parameterdarstellung einer Funktion" nachgeschlagen habe, ist mir leider nicht klar, wie ich das auf meine Aufgabe übertragen kann.
Auch ist mir nicht klar, warum ich man nicht einfach nur integrieren kann, und gibt es eine Möglichkeit die Aufgabe über ein Doppelintegral zu lösen??!!
In der Vorlesung wurde Parametrisierung in diesem Zusammenhang nie behandelt, weshalb mich ein wenig irritiert, was das ganze mit der Zeit t zu tun hat, oder ist es eine beliebige Variable?
Danke für die Hilfe.
Beste Grüße
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Bitte noch mal ein Tipp für Verständniss
auf meine vorhergegangene Frage
Danke euch
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:09 So 22.06.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
mit einem Gebietsintegral kannst Du hier nichts anfangen, denn Du integrierst ja nicht über ein Gebiet, also eine geschlossene Fläche, sondern über einen Weg. Und hierfür gilt Mathepowers Tipp mit der Parametrisierung. Für den ersten Teilweg steht ja schon ein Vorschlag da.
Mit den Grenzen 0 und 1 für die Variable t, liegt es nahe, mit
x = 2t zu arbeiten, y(t) wäre dann für den ersten Weg identisch gleich Null. Damit ist der Weg von (0,0) nach (2,0) auf der x-Achse parametrisiert. Entsprechendes Vorgehen für das zweite Teilintegral.
Viele Grüße,
Infinit
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Also nach langem überlegen bin ich auf eine so hoffe ich richtige Lösung gekommen.
Wäre schön wenn es jemand man überprüfen kann, ob alles soweit richtig ist. Danke
Ich bin nach der Formel vorgegangen:
[mm] \integral_{}^{}{P(x,y) dx+Q(x,y) dy}
[/mm]
mit den Werten ergab sich:
f(x)=2
g(y)=0
[mm] \integral_{}^{}{P(x,f(x)) dx+Q(g(x),y) dy}
[/mm]
Q entfällt wegen g(y)=0
.....
[mm] \integral_{0}^{2}{2x dx}=4
[/mm]
Danke für Hilfe
Grüße
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Hallo mr.states,
> Also nach langem überlegen bin ich auf eine so hoffe ich
> richtige Lösung gekommen.
> Wäre schön wenn es jemand man überprüfen kann, ob alles
> soweit richtig ist. Danke
>
> Ich bin nach der Formel vorgegangen:
>
> [mm]\integral_{}^{}{P(x,y) dx+Q(x,y) dy}[/mm]
>
> mit den Werten ergab sich:
>
> f(x)=2
> g(y)=0
>
> [mm]\integral_{}^{}{P(x,f(x)) dx+Q(g(x),y) dy}[/mm]
>
> Q entfällt wegen g(y)=0
>
> .....
>
> [mm]\integral_{0}^{2}{2x dx}=4[/mm]
Stimmt leider nicht.
>
> Danke für Hilfe
> Grüße
>
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower,
dabei war ich mir nun so sicher endlich die aufgabe lösen zu können.
Wo liegt der Fehler?
bin ich die Aufgabe mit der falschen Formel angegangen?
kann man eine ähnliche Aufgabe in Büchern finden?
Danke
Grüße
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Hallo mr.states,
> Hallo MathePower,
> dabei war ich mir nun so sicher endlich die aufgabe lösen
> zu können.
> Wo liegt der Fehler?
> bin ich die Aufgabe mit der falschen Formel angegangen?
Das ist schon die richtige Formel. Nur musst Du den Weg parametrisieren.
Den ersten Weg [mm]\left(0,0\right) \to \left(2,0\right)[/mm] parametrisierst Du so:
[mm]x=2*t, \ y= 0[/mm]
Dann ist [mm]dx = 2 \ dt, \ dy = 0 \ dt[/mm]
Demnach trägt dieser Weg nichts zum Wert des Kurvenintegrals bei.
Für den zweiten Weg [mm]\left(2,0\right) \to \left(2,2\right)[/mm] wählst Du die folgende Parametrisierung:
[mm]x=2, \ y=2*t \Rightarrow dx = 0 \ dt, \ dy = 2 \ dt[/mm]
Dies setzt Du nun in das Kurvenintegral ein und rechnest es aus.
> kann man eine ähnliche Aufgabe in Büchern finden?
Bestimmt.
>
> Danke
> Grüße
Gruß
MathePower
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Danke für die Hilfe,
da ich langsam an der Aufgabe verzweifel hoffe ich nicht das so eine Ähnlich in der Klausur kommt, oder ich finde noch viel Material zum üben.
Ich hoffe das ich jetzt nicht so viele Fehler gemacht habe beim auflösen und einstezen des Integrals.
[mm] \integral_{}^{}{ye^x dx+yx^2 dy}
[/mm]
---------------------------------------------
x=2t , y=0
dx=2dt , dy=0dt
[mm] \integral_{0}^{2}{0e^{2t} dt+0*(2t)^2 dt} [/mm] =0
---------------------------------------------
x=2 , y=2t
dx=0dt , dy=2dt
[mm] \integral_{0}^{2}{2t*e^2 dt +2t*2^2 dt}=4*(e^2+4)
[/mm]
---------------------------------------------
Danke schon mal für's nachsehen
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> Danke für die Hilfe,
> da ich langsam an der Aufgabe verzweifel hoffe ich nicht
> das so eine Ähnlich in der Klausur kommt, oder ich finde
> noch viel Material zum üben.
>
> Ich hoffe das ich jetzt nicht so viele Fehler gemacht habe
> beim auflösen und einstezen des Integrals.
>
> [mm]\integral_{}^{}{ye^x dx+yx^2 dy}[/mm]
>
> ---------------------------------------------
> x=2t , y=0
> dx=2dt , dy=0dt
>
> [mm]\integral_{0}^{2}{0e^{2t} dt+0*(2t)^2 dt}[/mm] =0
> ---------------------------------------------
> x=2 , y=2t
> dx=0dt , dy=2dt
>
> [mm]\integral_{0}^{2}{2t*e^2 dt +2t*2^2 dt}=4*(e^2+4)[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Im ersten Summanden hast du wohl übersehen, dass dx=0*dt=0 ist
(x verändert sich ja nicht längs diesem Wegstück).
Ferner hast du so parametrisiert, dass die Obergrenze für t gleich 1
(nicht 2) ist. Wenn du für den 2. Summanden auch richtig
das dy durch 2dt ersetzt, kommst du zum Integral:
[mm]\integral_{t=0}^{1}{2t*e^2*0 dt +2t*2^2* 2dt}=\integral_{0}^{1}{16t*dt}=8t^2\big{|}_0^1=8[/mm]
Ich habe mir den ganzen thread kurz durchgesehen und möchte
festhalten: es wäre auch deutlich einfacher gegangen.
Einen Hilfsparameter t braucht man bei diesem Beispiel
nämlich keineswegs! Da das erste Stück des Weges in x-Richtung
und das zweite in y-Richtung verläuft, kann man ohne weiteres
mit x und y auskommen!
Für das erste Wegstück ist y=0 (konstant) und dy=0.
Das erste Teilintegral ist deshalb:
[mm] \integral_{x=0}^{2}{0*dx}=0
[/mm]
Auf dem 2. Wegstück ist x=2 (konstant) und dx=0.
Also zweites Teilintegral:
[mm] \integral_{y=0}^{2}{y*2^2*dy}=\integral_{y=0}^{2}{4*y*dy}=2*y^2\big{|}_0^2=\ [/mm] 8
Und damit erhält das Wegintegral den Wert 0+8=8.
LG al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 So 29.06.2008 | | Autor: | mr.states |
ha, vielendank. so eine ausführliche Antwort hat mir echt weitergeholfen.
ich glaube nun habe ich es verstanden, ist nicht so schwer.
mit hilfe einer Zeichnung wurde es mir dann noch klarer.
Besten dank.
Leider habe ich keine weitere Aufgabe mehr zum üben/verstehen.
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> ha, vielendank. so eine ausführliche Antwort hat mir echt
> weitergeholfen.
> ich glaube nun habe ich es verstanden, ist nicht so
> schwer.
> mit hilfe einer Zeichnung wurde es mir dann noch klarer.
> Besten dank.
gern geschehen
> Leider habe ich keine weitere Aufgabe mehr zum
> üben/verstehen.
Vielleicht schaust du einfach einmal unter dem Stichwort
Kurvenintegral oder Wegintegral hier im MatheRaum nach...
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") al-Chw.
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