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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:46 Sa 09.09.2006 | | Autor: | MrMibay |
| Aufgabe | Gegeben seien das Vektofeld [mm] \vec{F}(x,y,z) [/mm] und eine Raumkurve C mit der Parameterdarstellung [mm] \vec{r}(t) [/mm] durch
[mm] \vec{F}(x,y,z)= \begin{pmatrix} xy\\ yz \\ xz \end{pmatrix} [/mm] bzw [mm] \vec{r}(t) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} t \\ t^2 \\ t^3 \end{pmatrix}
[/mm]
Berechnen Sie das Linienintegral [mm] \int_{C} \vec{F}\, d\vec{r}
[/mm]
vom Punkt A=(-1,1,-1) bis zum Punkt B=(1,1,1). |
Also bis zum Integral komm ich wohl noch, das müsste:
[mm] \integral_{C}{5t^6+t^3 dt}
[/mm]
sein.
Aber jetzt weiß ich nicht was ich für Grenzen einsetzen muss. Kann mir da jemand weiterhelfen? Vielen Dank schon mal im voraus!
mfg
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Hallo
Wenn du bei deiner Parameterdarstellung von C t=-1 setzt, kriegst du den Punkt A; für t=1 kriegst du den Punkt B. Die Grenzen sind also [-1,1].
Gruss
EvenSteven
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Sa 09.09.2006 | | Autor: | MrMibay |
muss ich immer die x koordinaten der punkte einsetzen oder woher weiß ich das ich -1 und 1 einsetzen muss?
danke schon mal!!!
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> muss ich immer die x koordinaten der punkte einsetzen
Nein, das ist hier Zufall.
> woher weiß ich das ich -1 und 1 einsetzen muss?
> danke schon mal!!!
Ja eigentlich habe ich es ja schon geschrieben, aber hier nochmals ausführlich:
Du suchst für die Raumkurve C mit der Parameterdarstellung
[mm] \vec{r}(t)=\begin{pmatrix} t \\ t^2 \\ t^3 \end{pmatrix} [/mm]
jenes [mm]t_{1}[/mm] bzw. [mm]t_{2}[/mm], für welches gilt
[mm] \vec{r}(t_{1})= A = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm]
bzw.
[mm] \vec{r}(t_{2})= B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
Man sieht, es muss [mm]t_{1}=-1[/mm] und [mm]t_{2}=1[/mm] gelten.
Ist es nun klar?
Gruss
EvenSteven
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Sa 09.09.2006 | | Autor: | MrMibay |
hm ja für diesen fall schon, aber was ist wenn ich statt (1,1,1) (2,-5,8) habe? Wie berechne ich denn die Grenzen?
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Hallo!
> hm ja für diesen fall schon, aber was ist wenn ich statt
> (1,1,1) (2,-5,8) habe? Wie berechne ich denn die Grenzen?
Ganz einfach. Für den Fall B=(2,-5,8) liegt der Punkt B überhaupt nicht auf der Kurve und die ganze Aufgabe macht keinen Sinn.
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Sa 09.09.2006 | | Autor: | MrMibay |
ok, anders gefragt, statt (1,1,1) nehmen wir (a,b,c) ich möchte ja nur wissen wie man vorgeht, wie man das t ermittelt....
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Hallo.
Nun, der Punkt (a,b,c) muß auf der Kurve liegen.
Das gibt uns die 3 Gleichungen
[mm] $\vektor{a\\b\\c}=\vektor{t,t^2,t^3}$,
[/mm]
von denen wir eine nach $t$ auflösen, falls der Punkt tatsächlich auf der Kurve liegt, sind die anderen dann automatisch erfüllt.
In diesem konkreten Beispiel ist die erste Gleichung natürlich die Subtrivialste:
t=a.
Gruß,
Christian
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