Linearkombination < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 Mo 19.10.2009 | | Autor: | Dinker |
Guten Abend
Stellen Sie die vollständige lösungsmnge des folgendesn Gleichungssystems mit Hilfe einer Linearkombination von Vektoren dar.
[mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] 4x_{2} [/mm] -3 [mm] x_{3} [/mm] + [mm] x_{4} [/mm] = 7
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} -4x_{4} [/mm] = 5
-----------------------------------------------
[mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] 4x_{2} [/mm] -3 [mm] x_{3} [/mm] + [mm] x_{4} [/mm] = 7
-3 [mm] x_{3} [/mm] + 9 [mm] x_{4} [/mm] = -3
[mm] x_{4} [/mm] = 1 (frei gewählt)
[mm] x_{3} [/mm] = 4
[mm] x_{2} [/mm] = 1 (frei gewählt)
[mm] x_{1} [/mm] = 7
Nun sollte ich Vektoren draus machen?
Aber wie?
Danke
Gruss DInker
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> [mm]2x_{1}[/mm] + [mm]4x_{2}[/mm] -3 [mm]x_{3}[/mm] + [mm]x_{4}[/mm] = 7
> -3 [mm]x_{3}[/mm] + 9 [mm]x_{4}[/mm] = -3
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> [mm]x_{4}[/mm] = 1 (frei gewählt)
> [mm]x_{3}[/mm] = 4
> [mm]x_{2}[/mm] = 1 (frei gewählt)
> [mm]x_{1}[/mm] = 7
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> Nun sollte ich Vektoren draus machen?
>
> Aber wie?
Hallo,
Du hast richtig erkannt, daß Du hier [mm] x_4 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] frei wählen kannst, also völlig beliebig.
Daraus ergibt sich für [mm] x_3:
[/mm]
[mm] x_3=1 +3x_4,
[/mm]
und für [mm] x_1:
[/mm]
[mm] x_1=3.5-2x-2+1.5x_3-0.5x_4 =3.5-2x_2+1.5(1 +3x_4,)-0.5x_4=5-2x_2+4x_4
[/mm]
Also haben alle Lösungsvektoren [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4} [/mm] die Gestalt
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{5 -2x_2+4x_4\\x_2\\1 +3x_4\\x_4} =\vektor{5\\0\\1\\0} [/mm] + [mm] x_2*\vektor{-2\\1\\0\\0} [/mm] + [mm] x_4*\vektor{4\\0\\3\\1}
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo Dinker,
> Guten Abend
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> Stellen Sie die vollständige lösungsmnge des folgendesn
> Gleichungssystems mit Hilfe einer Linearkombination von
> Vektoren dar.
> [mm]2x_{1}[/mm] + [mm]4x_{2}[/mm] -3 [mm]x_{3}[/mm] + [mm]x_{4}[/mm] = 7
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2} -4x_{4}[/mm] = 5
> -----------------------------------------------
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> [mm]2x_{1}[/mm] + [mm]4x_{2}[/mm] -3 [mm]x_{3}[/mm] + [mm]x_{4}[/mm] = 7
> -3 [mm]x_{3}[/mm] + 9 [mm]x_{4}[/mm] = -3
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> [mm]x_{4}[/mm] = 1 (frei gewählt)
> [mm]x_{3}[/mm] = 4
> [mm]x_{2}[/mm] = 1 (frei gewählt)
> [mm]x_{1}[/mm] = 7
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> Nun sollte ich Vektoren draus machen?
>
Angela schrieb:
Also haben alle Lösungsvektoren $ [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4} [/mm] $ die Gestalt
$ [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{5 -2x_2+4x_4\\x_2\\1 +3x_4\\x_4} =\vektor{5\\0\\1\\0} [/mm] $ + $ [mm] x_2\cdot{}\vektor{-2\\1\\0\\0} [/mm] $ + $ [mm] x_4\cdot{}\vektor{4\\0\\3\\1} [/mm] $
Ich würde ein wenig anders schreiben, inhaltlich aber das Gleiche:
[mm]x_{4}[/mm] = r (frei zu wählen)
[mm]x_{3}[/mm] = 4
[mm]x_{2}[/mm] = s (frei zu wählen)
[mm]x_{1}[/mm] = 7
Damit ergibt sich:
$ [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{5 -2r+4s\\r\\1 +3s\\s} =\vektor{5\\0\\1\\0} [/mm] + [mm] r\cdot{}\vektor{-2\\1\\0\\0}+ s\cdot{}\vektor{4\\0\\3\\1} [/mm] $
Welches geometrisches Gebilde wird durch diese Gleichung offensichtlich beschrieben?
Gruß informix
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