Lineariät einer Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Fr 26.09.2008 | | Autor: | fecit |
| Aufgabe | Welche Abbildungen sind linear?
[mm] f([\vektor{x \\ y}])=\pmat{ 2x_{1} & + x_{2} \\ x_{1} & x_{2} } [/mm] |
Ich Beschäftige mich jetzt schon länger mit dieser Aufgabenstellung und weiß nicht ob der Beweiß stimmt!
Also um zu zeigen das eine Abbildung Linear ist muss sie additiv und homogen sein.
Homogenität: [mm] f(\lambda [/mm] * x) = [mm] \lambda [/mm] * f(x)
f( [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{x_{1} \\ y_{1}}) [/mm] = f( [mm] \vektor{\lambda x_{1} \\ \lambda y_{1}} [/mm] =
= [mm] \pmat{ \lambda 2x_{1} & \lambda x_{2} \\ \lambda x_{1} & \lambda x_{2} } [/mm] =
= [mm] \lambda [/mm] * [mm] \pmat{ 2_x_{1} & x_{2} \\ x_{1} & x_{2} } [/mm] =
= [mm] \lambda *f(\vektor{x_{1} \\ x_{2}})
[/mm]
Additivität: f(u+v)=f(u)+f(v)
[mm] f(\lambda_{1}*(x_{1},x_{2}) [/mm] + [mm] \lambda_{2}*(y_{1},y_{2}) [/mm] = [mm] f(\lambda_{1}x_{1}+\lambda_{2}*y_{1},\lambda_{1}*x_{2}+\lambda_{2}*y_{2}) [/mm] =
[mm] =(2*(\lambda_{1}x_{1}+\lambda_{2}*y_{1})+(\lambda_{1}*x_{2}+\lambda_{2}*y_{2}) [/mm] , [mm] (\lambda x_{1}+\lambda_{2}*y_{1}) [/mm] + [mm] (\lambda_{1}*x_{2}+\lambda_{2}*y_{2}) [/mm] =
[mm] =\lambda_{1}*(2x_{1}+x_{2}),(x_{1}+x_{2}) [/mm] + [mm] \lambda_{2}*(2y_{1}+y_{2}),(y_{1}+y_{2}) [/mm] =
[mm] =\lambda_{1}*f(\vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] + [mm] \lambda_{2}*f(\vektor{y_{1} \\ y_{2}}
[/mm]
Würde der Beweis so stimmen? ty
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 Fr 26.09.2008 | | Autor: | fred97 |
Ich vermute die Abbildungsvorschrift lautet:
$ [mm] f([\vektor{x_1 \\ x_2}])=\pmat{ 2x_{1} & + x_{2} \\ x_{1} &+ x_{2} } [/mm] $
Wenn ja, so hast Du es im wesentlichen richtig gemacht aber nicht ganz sauber aufgeschrieben.
Probiers nochmal
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Fr 26.09.2008 | | Autor: | fecit |
[mm] {f(\vektor{x_{1} \\ x_{2}})}=\pmat{ 2x_{1}+x_{2} \\ x_{1}+x_{2} }
[/mm]
[mm] {f(\lambda_{1}*\vektor{x_{1}\\x_{2}}+\lambda_{2}*\vektor{y_{1}\\y_{2}})} [/mm] =
= [mm] {f(\vektor{\lambda_{1}*x_{1} + \lambda_{2}*y_{1}\\ \lambda_{1}*x_{2} + \lambda_{2}*y_{2}}} [/mm] =
= [mm] \vektor{2*(\lambda_{1}*x_{1} + \lambda_{2}*y_{1}) + (\lambda_{1}*x_{2} + \lambda_{2}*y_{2})\\ \lambda_{1}*(x_{1} + \lambda_{2}*y_{1})+\lambda_{1}*(x_{2} + \lambda_{2}*y_{2})}=
[/mm]
[mm] =\lambda_{1}*\vektor{2*x_{1}+x_{2}\\x_{1}+x_{2}}+\lambda_{2}*\vektor{2*y_{1}+y_{2}\\y_{1}+y_{2}}=
[/mm]
[mm] =\lambda_{1}*{f\vektor{x_{1}\\x_{2}}} [/mm] + [mm] \lambda_{2}*{f\vektor{y_{1}\\y_{2}}}
[/mm]
korrektur
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Fr 26.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> [mm]{f(\vektor{x_{1} \\ x_{2}})}=\pmat{ 2x_{1} & x_{2} \\ x_{1} & x_{2} }[/mm]
Hier hast Du 2 "+" - Zeichen vergessen.
FRED
>
> [mm]{f(\lambda_{1}*\vektor{x_{1}\\x_{2}}+\lambda_{2}*\vektor{y_{1}\\y_{2}})}[/mm]
> =
>
> = [mm]{f(\vektor{\lambda_{1}*x_{1} + \lambda_{2}*y_{1}\\ \lambda_{1}*x_{2} + \lambda_{2}*y_{2}}}[/mm]
> =
>
> = [mm]\vektor{2*(\lambda_{1}*x_{1} + \lambda_{2}*y_{1}) + (\lambda_{1}*x_{2} + \lambda_{2}*y_{2})\\ \lambda_{1}*(x_{1} + \lambda_{2}*y_{1})+\lambda_{1}*(x_{2} + \lambda_{2}*y_{2})}=[/mm]
>
> [mm]=\lambda_{1}*\vektor{2*x_{1}+x_{2}\\x_{1}+x_{2}}+\lambda_{2}*\vektor{2*y_{1}+y_{2}\\y_{1}+y_{2}}=[/mm]
>
> [mm]=\lambda_{1}*{f\vektor{x_{1}\\x_{2}}}[/mm] +
> [mm]\lambda_{2}*{f\vektor{y_{1}\\y_{2}}}[/mm]
O.K.
FRED
>
> korrektur
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:37 Fr 26.09.2008 | | Autor: | fecit |
Danke sehr!
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