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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:44 Sa 09.10.2010 | | Autor: | Dust |
| Aufgabe | Gegeben seien die beiden Punktmengen
[mm] A_1 = \left\{ \vec x \left| \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} [/mm] und
[mm] A_2 = \left\{ \vec x \left| \vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + u * \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \right\} [/mm]
a) Welche Figuren werden durch [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] beschrieben?
b) Welche Figur entsteht beim Schnitt von [mm] A_1 [/mm] mit [mm] A_2 [/mm] ?
c) Beschreiben Sie die Figur durch Vektoren bzw. durch einen Vektor.
d) Stellen Sie [mm] A_2 [/mm] und die Schnittfigur in einem Koordinatensystem dar. |
Guten Morgen,
Zu Frage a) Ich bin mir nicht im klaren darüber was genau mit dem Ausdruck Figur oder Figuren gemeint ist hier. Brauche da einen Hinweis.
Vielen Dank für eure Hilfe.
Gurß Dust
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> Gegeben seien die beiden Punktmengen
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> [mm]A_1 = \left\{ \vec x \left| \vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}[/mm]
> und
>
> [mm]A_2 = \left\{ \vec x \left| \vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + u * \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \right\}[/mm]
>
> a) Welche Figuren werden durch [mm]A_1[/mm] und [mm]A_2[/mm] beschrieben?
>
> b) Welche Figur entsteht beim Schnitt von [mm]A_1[/mm] mit [mm]A_2[/mm] ?
>
> c) Beschreiben Sie die Figur durch Vektoren bzw. durch
> einen Vektor.
>
> d) Stellen Sie [mm]A_2 [/mm] und die Schnittfigur in einem
> Koordinatensystem dar.
> Guten Morgen,
>
> Zu Frage a) Ich bin mir nicht im klaren darüber was genau
> mit dem Ausdruck Figur oder Figuren gemeint ist hier.
> Brauche da einen Hinweis.
>
> Vielen Dank für eure Hilfe.
>
> Gurß Dust
Hallo Dust,
jede dieser Punktmengen stellt ein geometrisches Objekt im [mm] \IR^3 [/mm] dar.
[mm] A_1 [/mm] stellt z.B. eine Ebene dar. Die Gleichung für [mm] A_2 [/mm] sieht zunächst
auch nach einer Ebenengleichung aus, aber da ist ein kleiner Haken
dabei ...
Anstatt von "Figuren" würde ich also eher von "geometrischen Objekten"
sprechen.
LG
Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Sa 09.10.2010 | | Autor: | Dust |
Hallo
Zu erkennen ist, dass zum Vektor [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] ein Pfeil der doppelten Länge des Pfeils zum Vektor [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] gehört.
Für [mm] A_2 [/mm] vermute ich daher zwei parallele Geraden.
Gruß Dust
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> Hallo
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> Zu erkennen ist, dass zum Vektor [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
> ein Pfeil der doppelten Länge des Pfeils zum Vektor
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] gehört.
>
> Für [mm]A_2[/mm] vermute ich daher zwei parallele Geraden.
>
> Gruß Dust
Weshalb zwei Geraden ? Wir haben ja nur einen einzigen
Ausgangspunkt und zwei kollineare Richtungsvektoren. Die
erzeugte Punktmenge ist also nur eine einzige Gerade. Auf den
zweiten Richtungsvektor und den entsprechenden Parameter $u$
könnte man also einfach verzichten. Die Punktmenge [mm] A_2 [/mm] ist also
einfach eine Gerade.
Gruß Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Sa 09.10.2010 | | Autor: | Dust |
Hallo,
Zu Aufgabe b)
Um den Schnitt von [mm] A_1 [/mm] mit [mm] A_2 [/mm] zu erhalten müssen [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] gleichgesetzt werden?
Wenn Ja, habe ich diese Lösung:
[mm] A_1 = A_2 [/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + u * \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm]
Vektor [mm] u * \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] lasse Ich
weg.
Die Vektorgleichung hat nach allen Umformungen die Gestalt:
[mm] r * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm]
Diese stellt ein LGS in den Unbekannten r,s und t dar, das in Matrix-Vektorschreibweise wie folgt lautet:
[mm] \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} * \begin{pmatrix} r \\ s \\ t \end{pmatrix} =n\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm]
Dieses LGS kann Ich durch den Gauß-Jordan-Algorithmus bezüglich der erweiterten Koeffizientenmatrix lösen.
Bevor Ich jetzt dieses LGS löse würde ich gerne Wissen, ob Ich bis jetzt richtig liege?
Gruß Dust
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Sa 09.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> Zu Aufgabe b)
>
> Um den Schnitt von [mm]A_1[/mm] mit [mm]A_2[/mm] zu erhalten müssen [mm]A_1[/mm] und
> [mm]A_2[/mm] gleichgesetzt werden?
>
> Wenn Ja, habe ich diese Lösung:
>
> [mm]A_1 = A_2[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + u * \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Vektor [mm]u * \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] lasse
> Ich
> weg.
>
>
> Die Vektorgleichung hat nach allen Umformungen die
> Gestalt:
>
> [mm]r * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm]
>
> Diese stellt ein LGS in den Unbekannten r,s und t dar, das
> in Matrix-Vektorschreibweise wie folgt lautet:
Hallo, wozu dieses noch? Wenigstens hier im konkreten Fall sehe ich aus der dritten Gleichung sofort, dass t=2 gilt. Verwendet man dieses in der ersten Gleichung, hat man s=1. Beides in die zweite Gleichung eingesetzt ergibt r=1.
Einsetzen der drei Werte in die Ausgangsgleichung (in der wir u=0 annehmen) ergibt zur Probe tatsächlich Gleichheit.
Gruß Abakus
>
> [mm]\begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} * \begin{pmatrix} r \\ s \\ t \end{pmatrix} =n\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Dieses LGS kann Ich durch den Gauß-Jordan-Algorithmus
> bezüglich der erweiterten Koeffizientenmatrix lösen.
>
> Bevor Ich jetzt dieses LGS löse würde ich gerne Wissen,
> ob Ich bis jetzt richtig liege?
>
> Gruß Dust
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Sa 09.10.2010 | | Autor: | Dust |
Hallo,
Nochmal zu Aufgabe b)
Die geometrische Form die beim Schnitt von [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2 [/mm] entsteht ist eine Gerade?
Und Aufgabe c)
Die geometrische Form ist durch die Vektorgleichung :
[mm] r* \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} = n * \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\-2 \end{pmatrix} [/mm] gegeben.
Aufgabe d)
Es entsteht ein Gegenpfeil gleicher Länge, aber entgegengesetzter Richtung. Das bedeutet t ist < 0.
Wenn das jetzt so richtig ist?
Vielen Dank für euere Hilfe
Gruß Dust
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Hallo Dust,
soweit ich sehe, ist die Gerade [mm] A_2 [/mm] nicht parallel zur Ebene [mm] A_1 [/mm] .
Also müsste die Schnittmenge einen Punkt ergeben.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Sa 09.10.2010 | | Autor: | Dust |
Hallo,
Ich habe die Gerade [mm] A_2 [/mm] und den [mm] Punkt [/mm] in ein [mm] R^3 [/mm] eingezeichnet.
Der Punkt liegt auf einen Gegenpfeil zur Gerade [mm] A_2 [/mm]
Reicht das denn, wenn Ich nur die Gerade auf der einen Seite und der Punkt auf der anderen Seite einzeichne ?
Gruß Dust
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Sa 09.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> Ich habe die Gerade [mm]A_2[/mm] und den [mm]Punkt[/mm] in ein [mm]R^3[/mm]
> eingezeichnet.
>
> Der Punkt liegt auf einen Gegenpfeil zur Gerade [mm]A_2[/mm]
Wie sinnentleert ist denn diese Aussage?
Der Schnittpunkt der Ebene [mm] A_1 [/mm] und der Geraden [mm] A_2 [/mm] liegt AUF der Geraden und IN der Ebene.
Auf der Gerade kannst du beliebig viel "Pfeile" in beiden möglichen Richtungen einzeichnen. Die Formulierung "Gegenpfeil zu einer Geraden" macht absolut keinen Sinn.
Gruß Abakus
>
> Reicht das denn, wenn Ich nur die Gerade auf der einen
> Seite und der Punkt auf der anderen Seite einzeichne ?
>
> Gruß Dust
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