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| Aufgabe | Beschreiben sie die Ebene E im dreidimensionalem Raum durch die Punkte (2,1,2) , (2,2,3) und (1,-1,1) in parametrisierter Form mit einer Punktrichtungsgleichung. Finden Sie eine äquivalente Umformung dieser Gleichung, sodass die Menge der Punkte auf E als Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems beschrieben wird.
Hinweis: Die Gleichungen entstehen durch Reduktion der Parameter. Ein Gleichungssystem kann auch aus einer einzigen Gleichung bestehen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Der erste Schritt war gar kein Problem. Also die Punktrichtungsgleichung aufzustellen. Diese lautet wie folgt:
E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2} [/mm] + r * [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] + t * [mm] \vektor{-1 \\ -2 \\ -1}
[/mm]
Daraus kann ich dann folgendes LSG ableiten:
I: x = 2 - t
II: y = 1 + r - 2t
III: z = 2 + r - t
Dabei bleibt mir aber der Hinweis im Kopf, dass eine einzige Gleichung wohl ausreichen soll. Allerdings weiß ich da absolut nicht, wie das bitte funktionieren sollte.
Habe ich nun aber meine 3 Gleichungen, weiß ich nicht so recht wie ich das lösen soll. Ich hab schon hin und her probiert, aber ich komme nicht auf ein richtiges Ergebnis. Hier mal mein letzter Ansatz:
I: x = 2 - t | -2 / -1
I: t = -x + 2
dies nun in die dritte Gleichung eingesetzt
III: z = 2 + r +x - 2 = r + x | -x
III: r = z -x
damit setze ich dann r und z bei der zweiten Gleichung ein
II: y = 1 + z - x + 2x - 4 = x + z - 3
Allerdings bringt mir das ganze irgendwie nichts.
Meine anderen Ansätze sahen so ähnlich aus.
Kann mir vllt. jemand nen Tipp geben, wie ich das richtig rechnen kann?
Oder wie das mit der einen Gleichung funktionieren soll?
Vielen Dank
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Hi, Clawfinger,
> Beschreiben sie die Ebene E im dreidimensionalem Raum durch
> die Punkte (2,1,2) , (2,2,3) und (1,-1,1) in
> parametrisierter Form mit einer Punktrichtungsgleichung.
> Finden Sie eine äquivalente Umformung dieser Gleichung,
> sodass die Menge der Punkte auf E als Lösungsmenge eines
> linearen Gleichungssystems beschrieben wird.
> Hinweis: Die Gleichungen entstehen durch Reduktion der
> Parameter. Ein Gleichungssystem kann auch aus einer
> einzigen Gleichung bestehen.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Der erste Schritt war gar kein Problem. Also die
> Punktrichtungsgleichung aufzustellen. Diese lautet wie
> folgt:
>
> E: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 2}[/mm] + r * [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm] + t * [mm]\vektor{-1 \\ -2 \\ -1}[/mm]
>
> Daraus kann ich dann folgendes LSG ableiten:
>
> I: x = 2 - t
> II: y = 1 + r - 2t
> III: z = 2 + r - t
>
> Dabei bleibt mir aber der Hinweis im Kopf, dass eine
> einzige Gleichung wohl ausreichen soll. Allerdings weiß
> ich da absolut nicht, wie das bitte funktionieren sollte.
>
> Habe ich nun aber meine 3 Gleichungen, weiß ich nicht so
> recht wie ich das lösen soll. Ich hab schon hin und her
> probiert, aber ich komme nicht auf ein richtiges Ergebnis.
> Hier mal mein letzter Ansatz:
>
> I: x = 2 - t | -2 / -1
> I: t = -x + 2
> dies nun in die dritte Gleichung eingesetzt
> III: z = 2 + r +x - 2 = r + x | -x
> III: r = z -x
> damit setze ich dann r und z bei der zweiten Gleichung
> ein
> II: y = 1 + z - x + 2x - 4 = x + z - 3
Oder in der üblichen Form: x - y + z - 3 = 0.
> Allerdings bringt mir das ganze irgendwie nichts.
Doch! Genauso ist die Aufgabe gemeint!
Durch "Reduktion der Parameter" (r und t verschwinden!)
erhältst Du EINE einzige Gleichung,
die Deine Ebene genauso gut beschreibt,
wie die anfangs erstellte Parameterform:
Wenn Du die Punkte der Ebene einsetzt,
erhältst Du jeweils eine wahre Aussage!
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 Do 22.10.2009 | | Autor: | Clawfinger |
Oh man, auf sowas komme ich leider nie.
Dabei sieht es so einfach aus, dass man einfach das y auf die andere Seite holt.
Hab jetzt aber verstanden wie die Aufgabe gemeint ist, vorallem der Hinweis mit der einzelnen Gleichung.
Vielen Dank für deine Hilfe.
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