Lineare Unabhängigkeit < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:44 Mo 02.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Sei V ein reeller Vektorraum, n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 2 und [mm] v_{1},...,v_{n} \in [/mm] V.
1. Für welche [mm] \lambda \in \IR [/mm] gelten folgende Aussagen?
(a) Aus der linearen Unabhängigkeit von [mm] v_{1},v_{2} [/mm] folgt die lineare Unabhängigkeit von [mm] \lambda v_{1}+v_{2};v_{1}+\lambda v_{2}.
[/mm]
(b) Aus der linearen Unabhängigkeit von [mm] v_{1},...,v_{n} [/mm] folgt die lineare Unabhängigkeit von
[mm] v_{1}+v_{2},v_{2}+v_{3},...,v_{n-1}+v_{n},v_{n}+\lambda v_{1}. [/mm] |
Hallo. Das ist der erste Teil einer (recht großen) Aufgabe, aber leider komme ich auch damit nicht klar. Ich denke hierbei an ein LGS, komme aber nicht genau drauf, wie das aussehen soll. :(
v1,v2 linear unabhängig:
r1 v1 + r2 v2 = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] r1=r2=0
Das ist die Voraussetzung, aber was nun?
Danke sehr. Gruß
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> Für welche [mm]\lambda \in \IR[/mm] gelten folgende Aussagen?
> (a) Aus der linearen Unabhängigkeit von [mm]v_{1},v_{2}[/mm] folgt
> die lineare Unabhängigkeit von [mm]\lambda v_{1}+v-{2};v_{1}+\lambda v_{2}.[/mm]
>
> (b) Aus der linearen Unabhängigkeit von v1;...;vn folgt
> die lineare Unabhängigkeit von
> v1+v2;v2+v3;... [mm];v_{n-1}+vn;vn+\lambdav1.[/mm]
> Hallo. Das ist der erste Teil einer (recht großen)
> Aufgabe, aber leider komme ich auch damit nicht klar. Ich
> denke hierbei an ein LGS, komme aber nicht genau drauf, wie
> das aussehen soll. :(
>
> v1,v2 linear unabhängig:
>
> r1 v1 + r2 v2 = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] r1=r2=0
>
> Das ist die Voraussetzung, aber was nun?
Das stimmt. Rechne doch einmal mit den Angaben herum:
[mm]0=r_1(\lambda v_1+v_2)+r_2(v_1+\lambda v_2)=v_1(r_1\lambda +r_2)+v_2(r_1 + \lambda)[/mm]
Und??
>
> Danke sehr. Gruß
b) sollst du das zeigen?
Dann gilt [mm] $\sum_{i=1}^nr_iv_i=0\Rightarrow r_i=0\forall [/mm] i$
Was gilt nun für die Linearkombination
[mm] $\sum_{j=1}^n q_j (v_j [/mm] + [mm] v_{j+1})$
[/mm]
Die Summe kannst du auseinanderziehen und umordnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Mo 02.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
> Das stimmt. Rechne doch einmal mit den Angaben herum:
> $ [mm] r_1(\lambda v_1+v_2-2)+r_2(v_1+\lambda v_2)=v_1(r_1\lambda [/mm]
> [mm] +r_2)+v_2(r_1 [/mm] + [mm] \lambda) [/mm] $
> Und??
Sry, aber irgendwie versteh ich nicht, wie du darauf kommst :( Ich meinte aber [mm] v_{2} [/mm] und nicht v-2 sry ;)
Bei der b soll man ebenfalls wieder die [mm] \lambda [/mm] bestimmen, für die das gilt.
Danke schonmal für weitere Hilfe.
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Kommt es auch mal vor, dass du die Aufgabe nicht nur überfliegst?
[mm]v_1,v_2[/mm] lin. unabh., d.h. [mm]r_1v_1+r_2v_2=0\Rightarrow r_1=r_2=0[/mm].
So jetzt hast du
[mm]w_1:= \lambda v_{1}+v_{2}[/mm] und [mm]w_2:=v_{1}+\lambda v_{2}. [/mm]
Das sind zwei Vektoren. Wann sind die unabh.? Wenn
[mm]q_1w_1+q_2w_2=0\Rightarrow q_1=q_2=0[/mm] gilt.
Einsetzen
[mm]0=q_1w_1+q_2w_2=q_1*(\lambda v_1+v_2)+q_2*(v_1+ \lambda v_2)[/mm] ausmultiplizieren, umstellen und nach [mm]v_1,v_2[/mm] zusammenfassen ....
Bei deiner b) gibt es keine [mm]\lambda[/mm], von daher würde ich sagen [mm]\lambda \in \mathbb{H}[/mm],
wobei H die Menge aller Häuser ist, die Spitzdächer haben.
Kannst du die komplette Aufgabe abtippen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 Di 03.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke nochmal.
Ich versteh zwar deinen Ansatz, aber seh nicht, worauf du hinausmöchtest.
Hab jetzt ausmultipliziert:
0 = [mm] \lambda q_{1} v_{1} [/mm] + [mm] q_{1} v_{2} [/mm] + [mm] q_{2}v_{1} [/mm] + [mm] \lambda q_{2}v_{2}
[/mm]
Und jetzt soll ich das einmal nach [mm] v_{1} [/mm] und dann nach [mm] v_{2} [/mm] zusammenfassen? Also(?):
[mm] v_{2}= \bruch{- \lambda q_{1} v_{1} - q_{2}v_{1}}{q_{1}+ \lambda q_{2}}
[/mm]
[mm] v_{1}= \bruch{- q_{1} v_{2}-\lambda q_{2}v_{2}}{q_{2}+\lambda q_{1}}
[/mm]
Hab die Aufgabe jetzt editiert. Danke schonmal. Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Di 03.05.2011 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Hab jetzt ausmultipliziert:
>
> 0 = [mm]\lambda q_{1} v_{1}[/mm] + [mm]q_{1} v_{2}[/mm] + [mm]q_{2}v_{1}[/mm] +
> [mm]\lambda q_{2}v_{2}[/mm]
>
> Und jetzt soll ich das einmal nach [mm]v_{1}[/mm] und dann nach
> [mm]v_{2}[/mm] zusammenfassen? Also(?):
>
> [mm]v_{2}= \bruch{- \lambda q_{1} v_{1} - q_{2}v_{1}}{q_{1}+ \lambda q_{2}}[/mm]
>
> [mm]v_{1}= \bruch{- q_{1} v_{2}-\lambda q_{2}v_{2}}{q_{2}+\lambda q_{1}}[/mm]
du siehst, DAS bringt dich nicht wirklich weiter. DAS hat wieschoo aber sicher auch NICHT gemeint. Gehen wir dazu noch einmal zu wieschoos 1. Antwort:
> [mm] 0=r_1(\lambda v_1+v_2)+r_2(v_1+\lambda v_2)=v_1(r_1\lambda +r_2)+v_2(r_1 + \lambda \red{r_2}) [/mm]
Jetzt weißt du doch n.V., dass [mm]v_1,v_2[/mm] linear unabhängig sind. Die Gleichung kann also nur 0 sein, wenn [mm](r_1 + \lambda \red{r_2})=0 [/mm] und [mm](r_1\lambda +r_2)=0[/mm].
Also....?
Erst einmal Teilaufgabe a) nachvollziehen, dann kannst du dich an b) ransetzen...
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Di 03.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke sehr für deine Antwort.
Jetzt seh ich auch, worauf man hier hinausmöchte.
Müsste doch jetzt ein LGS ergeben oder?
Also:
[mm] r_{1} [/mm] + [mm] \lambda r_{2} [/mm] = 0 (I)
[mm] r_{1} \lambda [/mm] + [mm] r_{2} [/mm] = 0 (II)
Aus (I) folgt: [mm] r_{1} [/mm] = - [mm] \lambda r_{2} [/mm] (*)
(*) in (II) eingesetzt: - [mm] \lambda^{2} r_{2} +r_{2} [/mm] = 0
Dann wäre [mm] \lambda [/mm] -1 oder 1. Ist das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Di 03.05.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Müsste doch jetzt ein LGS ergeben oder?
>
> Also:
>
> [mm]r_{1}[/mm] + [mm]\lambda r_{2}[/mm] = 0 (I)
> [mm]r_{1} \lambda[/mm] + [mm]r_{2}[/mm] = 0 (II)
ja.
Du musst aufpassen, [mm]r_1[/mm] und [mm]r_2[/mm] selbst sind ja nicht näher konkretisiert. Du wirst wohl [mm]\lambda[/mm] in Abhängigkeit von [mm]r_1[/mm] und [mm]r_2[/mm] berechnen müssen.
Addiere dazu Gleichung (I) und (II). Wenn du das machst (!), erhällst du [mm](r_1+r_2)*(1+\lambda)=0[/mm]. Und wann ist diese Gleichung 0?
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Di 03.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
> Du musst aufpassen, $ [mm] r_1 [/mm] $ und $ [mm] r_2 [/mm] $ selbst sind ja nicht näher
> konkretisiert.
Leider verstehe ich nicht, warum mein vorheriger Ansatz nicht funktioniert :( Wenn ich in I nach [mm] r_{1} [/mm] auflöse und dann in II einsetze, geht das nicht? Die Ergebnisse scheinen gleich zu sein. Kannst du mir das vllt nochmal erklären?
Aber zum anderen:
Die Gleichung ist gleich 0, wenn [mm] r_{1}+r_{2} [/mm] = 0 oder [mm] \lambda [/mm] +1 = 0
Dann ist [mm] \lambda [/mm] = -1 oder [mm] r_{1}= [/mm] - [mm] r_{2}. [/mm] dann wiederum kann ich in I einsetzen:
[mm] -r_{2}+ \lambda r_{2} [/mm] = 0
[mm] r_{2} [/mm] (-1 + [mm] \lambda [/mm] ) = 0
Es folgt: [mm] \lambda [/mm] = 1
Ist das richtig so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Di 03.05.2011 | | Autor: | barsch |
Hi,
dein Ansatz geht auch, du hast dann die Hälfte vergessen: Du schreibst [mm]\lambda=1[/mm] oder [mm]\lambda=-1[/mm]. [mm]\lambda=1[/mm] kann aber nur gelten, wenn [mm]r_1=-r_2[/mm].
Es gibt ja quasi die Fälle:
1. [mm]\lambda=1[/mm] und [mm]r_1=-r_2[/mm]
2. [mm]\lambda=-1[/mm], dann ist [mm](r_1+r_2)*(1+\lambda)=0[/mm] unabhängig von [mm]r_1[/mm] und [mm]r_2[/mm]
3. [mm]r_1=0=r_2[/mm] und [mm]\lambda\in\IR[/mm]
Du siehst, Fall 3 hast du vergessen.
So, jetzt viel Erfolg bei Teilaufgabe 2.
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Di 03.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hab die Aufgabe grad eben schon angefangen.
Bei TA2 müsste das doch ähnlich ablaufen. mein LGS ist:
[mm] s_{1} [/mm] + [mm] s_{n} \lambda [/mm] = 0
[mm] s_{1}+s_{2} [/mm] = 0
[mm] s_{2}+s_{3} [/mm] = 0
...
[mm] s_{n-2}+s_{n-1}=0
[/mm]
[mm] s_{n-1} [/mm] + [mm] s_{n}=0
[/mm]
Auffällig ist hier das alternierende Verhalten d.h.
[mm] s_{2} [/mm] = [mm] -s_{1}
[/mm]
[mm] s_{3} [/mm] = [mm] s_{1}
[/mm]
[mm] s_{4} [/mm] = [mm] -s_{3} [/mm] = [mm] -s_{1}
[/mm]
[mm] s_{5} [/mm] = [mm] s_{3} [/mm] = [mm] s_{1}
[/mm]
...
ich folgere, dass die [mm] s_{i} [/mm] für alle ungeraden i gleich sind.
Für alle geraden i gilt: [mm] s_{2k}=-s_{2k-1}, [/mm] wobei n=2k
Nur jetzt hänge ich irgendwie
[mm] s_{1} [/mm] + [mm] s_{n} \lambda [/mm] = 0
Kann ich hier jetzt ne Fall.U machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Di 03.05.2011 | | Autor: | barsch |
wowowow, keine Hektik.
> Hab die Aufgabe grad eben schon angefangen.
>
> Bei TA2 müsste das doch ähnlich ablaufen. mein LGS ist:
>
> [mm]s_{1}[/mm] + [mm]s_{n} \lambda[/mm] = 0
> [mm]s_{1}+s_{2}[/mm] = 0
> [mm]s_{2}+s_{3}[/mm] = 0
> ...
> [mm]s_{n-2}+s_{n-1}=0[/mm]
> [mm]s_{n-1}[/mm] + [mm]s_{n}=0[/mm]
wo kommt dieses LGS auf einmal her? Was sind die [mm]s_i[/mm]`s? Lies dir doch bitte noch einmal die Aufgabestellung durch!
[mm] v_{1},...,v_{n} [/mm] sind lin. unabh., du sollst zeigen, was für [mm] \lambda\in\IR [/mm] gelten soll, damit auch [mm] v_{1}+v_{2},v_{2}+v_{3},...,v_{n-1}+v_{n},v_{n}+\lambda v_{1} [/mm] lin. unabh. sind. Nehme dir also wieder [mm]r_i[/mm]'s und verfahre so wie in a)
[mm] r_1(v_{1}+v_{2})+r_2*(v_{2}+v_{3})+...+r_{n-1}*(v_{n-1}+v_{n})+r_n*(v_{n}+\lambda v_{1})=0
[/mm]
und jetzt ordne das mal ein wenig. Immer dabei bedenken, von [mm] v_{1},...,v_{n} [/mm] weißt du, dass sie lin. unabh. sind.
>
> Auffällig ist hier das alternierende Verhalten d.h.
> [mm]s_{2}[/mm] = [mm]-s_{1}[/mm]
> [mm]s_{3}[/mm] = [mm]s_{1}[/mm]
> [mm]s_{4}[/mm] = [mm]-s_{3}[/mm]
> [mm]s_{5}[/mm] = [mm]s_{3}[/mm]
> ...
>
> ich folgere, dass die [mm]s_{i}[/mm] für alle ungeraden i gleich
> sind.
> Für alle geraden i gilt: [mm]s_{2k}=-s_{2k-1},[/mm] wobei n=2k
>
> Nur jetzt hänge ich irgendwie
>
> [mm]s_{1}[/mm] + [mm]s_{n} \lambda[/mm] = 0
>
> Kann ich hier jetzt ne Fall.U machen?
s.o.: mir ist nicht klar, was du hier vorhast.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Di 03.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
> wowowow, keine Hektik.
Sry. war etwas schnell xD
Ja, genau so bin ich auch (analog zu a) ) vorgegangen.
Ich hab das ausmultipliziert. Also (hatte jetzt nur s gewählt, eigentlich muss i.A. s doch nicht das vorherige r sein?)
[mm] s_{1}v_{1} [/mm] + [mm] s_{1}v_{2} [/mm] + [mm] s_{2}v_{2} [/mm] + [mm] s_{2}v_{3}+...
[/mm]
+ [mm] s_{n-1}v_{n-1} [/mm] + [mm] s_{n-1}v_{n} [/mm] + [mm] s_{n}v_{n}+s_{n} \lambda v_{1} [/mm] = 0
Das müsste doch stimmen?
Und nun habe ich die [mm] v_{i} [/mm] ausgeklammert:
[mm] v{1}(s_{1} [/mm] + [mm] s_{n}\lambda) [/mm] + [mm] v_{2}(s_{1}+s_{2}) [/mm] + ... + [mm] v_{n-1}(s_{n-2}+s_{n-1}) [/mm] + [mm] v_{n}(s_{n-1}+ s_{n})
[/mm]
So bin ich dann auf das LGS gekommen.
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> Und nun habe ich die [mm]v_{i}[/mm] ausgeklammert:
>
> [mm]v{1}(s_{1}[/mm] + [mm]s_{n}\lambda)[/mm] + [mm]v_{2}(s_{1}+s_{2})[/mm] + ... + [mm]v_{n-1}(s_{n-2}+s_{n-1})[/mm] + [mm]v_{n}(s_{n-1}+ s_{n})[/mm]=0.
>
> So bin ich dann auf das LGS gekommen.
>
Hallo,
ja,
mit der linearen Unabhängigkeit der [mm] v_i [/mm] bekommst Du
$ [mm] s_{1} [/mm] $ + $ [mm] s_{n} \lambda [/mm] $ = 0
$ [mm] s_{1}+s_{2} [/mm] $ = 0
$ [mm] s_{2}+s_{3} [/mm] $ = 0
...
$ [mm] s_{n-2}+s_{n-1}=0 [/mm] $
$ [mm] s_{n-1} [/mm] $ + $ [mm] s_{n}=0 [/mm] $.
Um zu entscheiden, wann $ [mm] (v_{1}+v_{2},v_{2}+v_{3},...,v_{n-1}+v_{n},v_{n}+\lambda v_{1}) [/mm] $ linear unabhängig ist, mußt Du nun schauen, für welche [mm] \lambda [/mm] zwangsläufig folgt, daß die [mm] s_i [/mm] allesamt =0 sind.
1.
Was erhältst Du für [mm] \lambda=0?
[/mm]
2.
Mach als Vorübung ein Experiment und nimm mal [mm] \lambda=7.
[/mm]
Findest Du [mm] s_i [/mm] so, daß mindestens eins der [mm] s_i [/mm] von 0 verschieden ist und
[mm] $v{1}(s_{1}$ [/mm] + [mm] 7*$s_{n})$ [/mm] + [mm] $v_{2}(s_{1}+s_{2})$ [/mm] + ... + [mm] $v_{n-1}(s_{n-2}+s_{n-1})$ [/mm] + [mm] $v_{n}(s_{n-1}+ s_{n})$=0
[/mm]
richtig ist?
3. Überleg's Dir für [mm] \lambda\not=0.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Di 03.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke für die Antwort.
Also:
Für [mm] \lambda [/mm] = 0 sind auch die [mm] s_{i} [/mm] alle gleich 0, also ist das eine Lösung.
Für bspw. [mm] \lambda [/mm] = 7 gilt dann doch
[mm] s_{1} [/mm] = -7 [mm] s_{n}
[/mm]
[mm] s_{2} [/mm] = 7 [mm] s_{n}
[/mm]
[mm] s_{3} [/mm] = [mm] -7s_{n}
[/mm]
[mm] s_{4} [/mm] = 7 [mm] s_{n}
[/mm]
...
Oder allgemein für [mm] \lambda
[/mm]
[mm] s_{1} [/mm] = - [mm] \lambda s_{n}
[/mm]
[mm] s_{2} [/mm] = [mm] \lambda s_{n}
[/mm]
[mm] s_{3} [/mm] = - [mm] \lambda s_{n}
[/mm]
[mm] s_{4} [/mm] = [mm] \lambda s_{n}
[/mm]
...
Nur kann ich doch beim Beispiel jedes [mm] s_{i} [/mm] wählen??? Das Verhalten alterniert doch, d.h. das erste und letzte bleibt stehn. Oder ist das der komplett falsch Weg?
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> Danke für die Antwort.
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> Also:
>
> Für [mm]\lambda[/mm] = 0 sind auch die [mm]s_{i}[/mm] alle gleich 0, also
> ist das eine Lösung.
Hallo,
eine Lösung wofür?
Formuliere, was Du herausgefunden hast.
>
> Für bspw. [mm]\lambda[/mm] = 7 gilt dann doch
>
> [mm]s_{1}[/mm] = -7 [mm]s_{n}[/mm]
> [mm]s_{2}[/mm] = 7 [mm]s_{n}[/mm]
> [mm]s_{3}[/mm] = [mm]-7s_{n}[/mm]
> [mm]s_{4}[/mm] = 7 [mm]s_{n}[/mm]
> ...
>
> Oder allgemein für [mm]\lambda[/mm]
>
> [mm]s_{1}[/mm] = - [mm]\lambda s_{n}[/mm]
> [mm]s_{2}[/mm] = [mm]\lambda s_{n}[/mm]
> [mm]s_{3}[/mm] = -
> [mm]\lambda s_{n}[/mm]
> [mm]s_{4}[/mm] = [mm]\lambda s_{n}[/mm]
> ...
>
> Nur kann ich doch beim Beispiel jedes [mm]s_{i}[/mm] wählen??? Das
> Verhalten alterniert doch, d.h. das erste und letzte bleibt
> stehn. Oder ist das der komplett falsch Weg?
Die Gedanken sind richtig.
Du müßtest jetzt mal formulieren, ob Du meinst, daß für [mm] \lambda\not=0 [/mm] die Vektoren abhängig oder unabhängig sind und dies ggf. beweisen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Di 03.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
> Du müßtest jetzt mal formulieren, ob Du meinst, daß für $ [mm] \lambda\not=0 [/mm] $ > die Vektoren abhängig oder unabhängig sind
Ich denke, dass die für [mm] \lambda \not= [/mm] 0 linear abhängig sind. Aber ich habe keine Idee, wie ich das beweisen soll. :(
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> > Du müßtest jetzt mal formulieren, ob Du meinst, daß für
> [mm]\lambda\not=0[/mm] > die Vektoren abhängig oder unabhängig
> sind
>
> Ich denke, dass die für [mm]\lambda \not=[/mm] 0 linear abhängig
> sind. Aber ich habe keine Idee, wie ich das beweisen soll.
> :(
Hallo,
beweisen tut man sowas, indem man eine nichttriviale Linearkombination der Vektoren angibt, welche Null ergibt.
Gelingt Dir das für [mm] 5v_1+v_2, v_1+5v_2 [/mm] ?
Gruß v. Angela
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> Sei V ein reeller Vektorraum, n [mm]\in \IN,[/mm] n [mm]\ge[/mm] 2 und
> [mm]v_{1},...,v_{n} \in[/mm] V.
>
> 1. Für welche [mm]\lambda \in \IR[/mm] gelten folgende Aussagen?
>
> (a) Aus der linearen Unabhängigkeit von [mm]v_{1},v_{2}[/mm] folgt
> die lineare Unabhängigkeit von [mm]\lambda v_{1}+v_{2};v_{1}+\lambda v_{2}.[/mm]
>
Hallo,
demnach, was ich den Thread überfliegend gelesen habe, bin ich mir nicht ganz sicher, ob Du Aufgabe a) bereits der Aufgabenstellung entsprechend gelöst hast.
Gesucht ist eine Antwort der Art:
"Für [mm] \lambda= [/mm] ... sind [mm] $\lambda v_{1}+v_{2};v_{1}+\lambda v_{2}$ [/mm] linear unabhängig,
und für [mm] \lambda=... [/mm] sind [mm] $\lambda v_{1}+v_{2};v_{1}+\lambda v_{2}$ [/mm] linear abhängig."
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Di 03.05.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Es seien v1; ...;vn linear unabhängig über [mm] \IR. [/mm] Bestimmen Sie die Menge L aller [mm] \lambda \in \IR,
[/mm]
für die v1;...;vn eine Basis von W ist. Bestimmen Sie für alle [mm] \lambda \notin [/mm] L eine Basis von W.
(a) n = 2,W = [mm] <\lambda v1+v2;v1+\lambda [/mm] v2>
(b) W = <v1+v2;v2+v3; ... [mm] ;v_{n-1}+vn;vn+\lambda [/mm] v1>. |
Hallo.
Dies ist Teil 2 der Aufgabe. Wieder mit Teil a und b. Aber auch hierbei habe ich Probleme. Ich muss die [mm] \lambda [/mm] bestimmen, für die das ein EZS ist, da ich die lineare U. in Teil 1 schon gezeigt habe. Eigentlich muss ich dass dann auch nur für die [mm] \lambda [/mm] überprüfen, die ich in Teil 1 rausbekommen hab, oder?
Aber ich weiß nicht genau, wie man das zeigt, dass es ein EZS ist. Danke vielmals.
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> Es seien v1; ...;vn linear unabhängig über [mm]\IR.[/mm] Bestimmen
> Sie die Menge L aller [mm]\lambda \in \IR,[/mm]
> für die v1;...;vn
> eine Basis von W ist. Bestimmen Sie für alle [mm]\lambda \notin[/mm]
> L eine Basis von W.
> (a) n = 2,W = [mm]<\lambda v1+v2;v1+\lambda[/mm] v2>
> (b) W = <v1+v2;v2+v3; ...="">[mm];v_{n-1}+vn;vn+\lambda[/mm] v1>.
Hallo,
ist es so schwer oder aufwendig, Indizes zu setzen?
Die Genießbarkeit der Aufgabe würde dadurch jedenfalls gesteigert und damit auch die Antwortwahrscheinlichkeit und -geschwindigkeit.
> Hallo.
>
> Dies ist Teil 2 der Aufgabe. Wieder mit Teil a und b. Aber
> auch hierbei habe ich Probleme. Ich muss die [mm]\lambda[/mm]
> bestimmen, für die das ein EZS ist, da ich die lineare U.
> in Teil 1 schon gezeigt habe.
Ein Erzeugendensystem von W sind die doch automatisch, da W doch als Erzeugnis der fraglichen Vektoren definiert ist.
Für die [mm] \lambda, [/mm] für die Du die lineare Unabhängigkeit gezeigt hast, hast Du damit die Eigenschaft "Basis von W" gezeigt.
> Eigentlich muss ich dass dann
> auch nur für die [mm]\lambda[/mm] überprüfen, die ich in Teil 1
> rausbekommen hab, oder?
>
> Aber ich weiß nicht genau, wie man das zeigt, dass es ein
> EZS ist.
s.o.
Erzeugendensysteme von W sind sie automatisch.
Du mußt nun ein minimales Erzeugendensystem angeben, bzw. eine maximale linear unabhängige Teilmenge abfischen. Dannn hast Du eine Basis von W.
Gruß v. Angela
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