Lineare Unabhängigkeit < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} [/mm] sind linear unabhängig. Zeigen Sie die lineare Unabhängigkeit der Vektoren:
[mm] \vec{a};
[/mm]
[mm] 3\vec{a}+2\vec{b}-7\vec{c};
[/mm]
[mm] 3\vec{b}-\vec{c}; [/mm] |
Hallo Leute,
für allg. Lineare Unabh. gilt bekanntlich
[mm] r*\vec{a}+s* \vec{b}+t* \vec{c} [/mm] = [mm] \vec{0}
[/mm]
Eingesetzt, ausmultipliziert und wieder ausgeklammert komm ich auf folgenden Term.
[mm] \vec{a}(r+3s)+\vec{b}(2s+3t)+\vec{c}(-7s-t)=0
[/mm]
0 = r + 3s
0 = 2s + t
0 = -7s-t
erkennbar ist das ich ein ungleiches t habe, reicht das zur Ausage, das nur die Triviallösung in Frage kommt und somit sich die 3 folgenden Vektoren linearunabhängig verhalten?
Liebe Grüße, die Beere
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Hallo
> Die Vektoren [mm]\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}[/mm] sind linear
> unabhängig. Zeigen Sie die lineare Unabhängigkeit der
> Vektoren:
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> [mm]\vec{a};[/mm]
> [mm]3\vec{a}+2\vec{b}-7\vec{c};[/mm]
> [mm]3\vec{b}-\vec{c};[/mm]
> Hallo Leute,
>
> für allg. Lineare Unabh. gilt bekanntlich
>
> [mm]r*\vec{a}+s* \vec{b}+t* \vec{c}[/mm] = [mm]\vec{0}[/mm]
>
Das reicht so nicht. Du musst schon sagen:
"Die Vektoren sind linear unabhängig, wenn [mm] r*\vec{a}+s* \vec{b}+t* \vec{c} [/mm] = [mm] \vec{0} \Rightarrow [/mm] r = s = t = 0"
> Eingesetzt, ausmultipliziert und wieder ausgeklammert komm
> ich auf folgenden Term.
>
> [mm]\vec{a}(r+3s)+\vec{b}(2s+3t)+\vec{c}(-7s-t)=0[/mm]
>
> 0 = r + 3s
> 0 = 2s + t
> 0 = -7s-t
>
> erkennbar ist das ich ein ungleiches t habe, reicht das zur
> Ausage, das nur die Triviallösung in Frage kommt und somit
> sich die 3 folgenden Vektoren linearunabhängig verhalten?
>
Naja, wenn du jetzt deine letzte Gleichung nach t auflöst, dann hast du t = -7s. Das in die zweite Gleichung [mm] \to [/mm] 0 = 2s - 7s [mm] \Rightarrow [/mm] s = 0 = t und somit auch r = 0 (erste Gleichung).
> Liebe Grüße, die Beere
Grüsse, Amaro
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