Lineare Unabhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 Di 16.12.2008 | | Autor: | rainbow |
Hallo zusammen!
ich brauche eure Hilfe! Ich habe folgende Aufgabe:
es ist zu zeigen, dass Funktionen [mm] x^{3}, [/mm] sin(x) und cos(x) linear unabhängig sind, wobei V der Vektorraum der Funktionen auf dem Intevall [0,1].
Also ich habe zu zeigen, dass [mm] \lambda_{1}x^{3}+\lambda_{2}sin(x)+\lambda_{3}cos(x) [/mm] =0
zunächst für x 0 eingesetzt:
So habe ich erhalten:
[mm] \lambda_{1}*0+\lambda_{2}*0+\lambda_{3}*1=0
[/mm]
[mm] \lambda_{3}=0
[/mm]
weiter habe ich [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] eingesetzt:
[mm] \lambda_{1}*(\bruch{\pi}{4})^{3}+\lambda_{2}*\bruch{\wurzel{2}}{2}+\lambda_{2}*\bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
da [mm] \lambda_{3}=0, [/mm] so ist [mm] \lambda_{1}*(\bruch{\pi}{4})^{3}+\lambda_{2}*\bruch{\wurzel{2}}{2}=0
[/mm]
Daraus folgt, aber dass [mm] \lambda_{1}x^{3} [/mm] und [mm] \lambda_{2}sin(x) [/mm] linear abhängig sind, denn es gilt [mm] \lambda_{1}=-\lambda_{2}*\bruch{\wurzel{2}}{2}*\bruch{64}{(\pi)^{3}}
[/mm]
Ich weiß nicht, wie ich weter zeigen kann, dass [mm] \lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=0
[/mm]
Vielen Dank vorauf
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Di 16.12.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ich brauche eure Hilfe! Ich habe folgende Aufgabe:
>
> es ist zu zeigen, dass Funktionen [mm]x^{3},[/mm] sin(x) und cos(x)
> linear unabhängig sind, wobei V der Vektorraum der
> Funktionen auf dem Intevall [0,1].
>
> Also ich habe zu zeigen, dass
> [mm]\lambda_{1}x^{3}+\lambda_{2}sin(x)+\lambda_{3}cos(x)[/mm] =0
> zunächst für x 0 eingesetzt:
Sehr guter Gedanke!
> So habe ich erhalten:
> [mm]\lambda_{1}*0+\lambda_{2}*0+\lambda_{3}*1=0[/mm]
> [mm]\lambda_{3}=0[/mm]
> weiter habe ich [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] eingesetzt:
Warum nicht eine Zahl, bei der der Sinus eine Nullstelle hat, aber [mm] x^3 [/mm] nicht?
> [mm]\lambda_{1}*(\bruch{\pi}{4})^{3}+\lambda_{2}*\bruch{\wurzel{2}}{2}+\lambda_{2}*\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
> da [mm]\lambda_{3}=0,[/mm] so ist
> [mm]\lambda_{1}*(\bruch{\pi}{4})^{3}+\lambda_{2}*\bruch{\wurzel{2}}{2}=0[/mm]
> Daraus folgt, aber dass [mm]\lambda_{1}x^{3}[/mm] und
> [mm]\lambda_{2}sin(x)[/mm] linear abhängig sind, denn es gilt
> [mm]\lambda_{1}=-\lambda_{2}*\bruch{\wurzel{2}}{2}*\bruch{64}{(\pi)^{3}}[/mm]
Das folgt eben nicht! Es folgt nur, daß die beiden rellen Zahlen [mm] (\bruch{\pi}{4})^{3} [/mm] und [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] linear abhängig sind, was kein Wunder ist, denn 2 reelle Zahlen sind über [mm] \IR [/mm] immer linear abhängig.
Es geht aber um die Funktionen!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 Di 16.12.2008 | | Autor: | rainbow |
Und wie geht es denn weiter! Was soll ich für x einsetzen, damit es geht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 Di 16.12.2008 | | Autor: | statler |
> Und wie geht es denn weiter! Was soll ich für x einsetzen,
> damit es geht?
Dir stehen noch alle rellen Zahlen außer der Null, also fast das gesamte Kontinuum, zur Verfügung. Jetzt geht es darum, in dieser Riesenmenge eine Zahl x zu finden, für die sin(x) = 0 ist, aber [mm] x^3 \not= [/mm] 0 ist. Die Anzahl der Nullstellen des Sinus ist unendlich, allerdings nur abzählbar. Trotzdem (oder gerade deswegen) solltest du in der Lage sein, ein paar davon zu finden und in [mm] x^3 [/mm] einzusetzen.
Wenn du das nicht hinkriegst, solltest du deine Studienwahl noch mal kritisch überdenken.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Di 16.12.2008 | | Autor: | rainbow |
Aber es sollen nur die Werte sein, die im Intervall [0,1] liegen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Di 16.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Nimm mal 0, 1 und [mm] \pi/6
[/mm]
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:59 Di 16.12.2008 | | Autor: | Astor |
Hallo, wenn Du für x nun [mm] \bruch{\pi}{6} [/mm] einsetzt? Mit der geleisteten Vorarbeit gibt es nun 3 Gleichungen mit den 3 Parametern.
Da [mm] \lambda_3 [/mm] ja den Wert Null hat genügen ja 2 Gleichungen.
Astor
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