Lineare Optimierung < Ökonomische Funktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Ein Unternehmer möchte zwei neue Produkte A und B in sein Fertigungsprogramm aufnehmen. Seine freien Kapazitäten erlauben es ihm, bis zu 11 Stück von A und bis zu 12 Stück von B zusammen zu fertigen. Die Anzahl der von B gefertigten Produkte muss aus technischen Gründen mindestens das Doppelte der Anzahl der von Sorte A gefertigten Produkte betragen. Aus absatzwirtschaftlichen Überlegungen heraus sollen von A mindestens 2 Stück, von Produkt B mindestens 6 Stück hergestellt werden. Die Produktionskosten pro Stück betragen 1000 € für Sorte A und 3000 € für Sorte B. Das Produkt A kann für 3000 € und das Produkt B für 4000 € abgesetzt werden.
(a) Welche Mengen sind von A und B zu produzieren, damit die Kosten möglichst gering gehalten werden?
(b) Welche Mengen sind von A und B zu produzieren, damit der Gewinn möglichst hoch ausfällt? |
Hallo zusammen,
die oben genannte Aufgabe bereitet mir großes Kopfzerbreche und ich wäre wirklich sehr froh, wenn mir jemand weiterhilft!
Ich notiere hier einfach mal das, was ich bisher meine rausgefunden zu haben:
Produkt A = x
Produkt B = y
Nichtnegativitätsbedingung: x>=0 und y>=0
Kapazität: 11x + 12y
Produktion: x + 2y
Absatz: 2x + 6y
Kosten (==> Zielfunktion): 1000x + 3000y
Ich komme hier einfach nicht weiter, da die 3 Gleichungsansätze ja eigentlich zu Gleichungen bzw. Ungleichungen ergänzt werden müssen, ich jedoch keine Zahlen im Text dazu sehe :-(
Vielen Dank bereits im Voraus für eure Bemühungen!
Liebe Grüße!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:44 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Pappus |
Guten Abend!
> Ein Unternehmer möchte zwei neue Produkte A und B in sein
> Fertigungsprogramm aufnehmen. Seine freien Kapazitäten
> erlauben es ihm, bis zu 11 Stück von A und bis zu 12
> Stück von B zusammen zu fertigen. Die Anzahl der von B
> gefertigten Produkte muss aus technischen Gründen
> mindestens das Doppelte der Anzahl der von Sorte A
> gefertigten Produkte betragen. Aus absatzwirtschaftlichen
> Überlegungen heraus sollen von A mindestens 2 Stück, von
> Produkt B mindestens 6 Stück hergestellt werden. Die
> Produktionskosten pro Stück betragen 1000 € für Sorte A
> und 3000 € für Sorte B. Das Produkt A kann für 3000 €
> und das Produkt B für 4000 € abgesetzt werden.
>
> (a) Welche Mengen sind von A und B zu produzieren, damit
> die Kosten möglichst gering gehalten werden?
> (b) Welche Mengen sind von A und B zu produzieren, damit
> der Gewinn möglichst hoch ausfällt?
> Hallo zusammen,
>
> die oben genannte Aufgabe bereitet mir großes
> Kopfzerbreche und ich wäre wirklich sehr froh, wenn mir
> jemand weiterhilft!
>
> Ich notiere hier einfach mal das, was ich bisher meine
> rausgefunden zu haben:
>
Anzahl des Produktes A = x
Anzahl des Produktes B = y
Bitte genau die Variablen definieren.
>
> Nichtnegativitätsbedingung: x>=0 und y>=0
>
> Kapazität: 11x + 12y
> Produktion: x + 2y
> Absatz: 2x + 6y
>
> Kosten (==> Zielfunktion): 1000x + 3000y
>
> Ich komme hier einfach nicht weiter, da die 3
> Gleichungsansätze ja eigentlich zu Gleichungen bzw.
> Ungleichungen ergänzt werden müssen, ich jedoch keine
> Zahlen im Text dazu sehe :-(
>
> Vielen Dank bereits im Voraus für eure Bemühungen!
>
> Liebe Grüße!
Grundsätzlich ist das nicht falsch, was Du geschrieben hast, aber wenig praktikabel.
Durch
[mm] $x\geq2~\wedge~x\leq [/mm] 11$ und
[mm] $y\geq6~\wedge~y\leq [/mm] 12$ und
[mm] $y\geq2x$
[/mm]
wird ein Gebiet definiert, welches die Bedingungen abdeckt. Durch dieses Gebiet läuft die Zielfunktion (minimale Kosten):
$K = [mm] 1000x+3000y~\implies~\boxed{y=-\frac13 x+\frac{k}{3000}}$
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Zielgerade muss durch wenigstens einen Punkt des Zielgebietes (welchen?) laufen und der y-Achsenabschnitt muss dabei möglichst gering sein.
Salve
Pappus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Erst einmal VIELEN DANK für deine Mühe!
Wirklich suuuper verständlich und total nachvollziehbar 
Jetzt habe ich aber noch eine Frage: Und zwaaar muss ich ja den Optimalen Punkt berechnen. Den berechne ich ja, indem ich den Schnittpunkt ausrechne. War bei bisherigen Aufgaben auch kein Problem. Nur wie setze ich x=2 und f(x)=6 gleich? :-( Muss ich da in diesem Fall überhaupt gleichsetzen?
VIELEN DANK und LIEBE GRÜßE
|
|
|
| |
|
Meine oben gepostete Frage hat sich bereits erledigt.
Könntest du/Könnten Sie überprüfen, ob meine Ergebnisse richtig sind?
(a) Optimaler Punkt (2/6); Minimale Kosten: 20.000,00 €
(b) Optimaler Punkt (6/12); Maximaler Gewinn: 24.000,00 €
Nochmals VIELEN LIEBEN DANK!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Do 02.12.2010 | | Autor: | M.Rex |
> Meine oben gepostete Frage hat sich bereits erledigt.
>
> Könntest du/Könnten Sie überprüfen, ob meine Ergebnisse
> richtig sind?
>
> (a) Optimaler Punkt (2/6); Minimale Kosten: 20.000,00
> €
Das ist okay.
> (b) Optimaler Punkt (6/12); Maximaler Gewinn: 24.000,00
> €
Wie hast du den Gewinn ermittelt? Das solltest du noch etwas genauer begründen.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Do 02.12.2010 | | Autor: | Pappus |
Guten Tag!
Erst einmal danke für die Blumen!
> Meine oben gepostete Frage hat sich bereits erledigt.
>
> Könntest du/Könnten Sie überprüfen, ob meine Ergebnisse
> richtig sind?
Das ist jetzt zwar lieb gemeint, aber wir sind hier per Du, auch wenn Du aus meiner Diktion deduzierest, dass ich kurz nach dem 30-jährigen Krieg geboren sein müsste, ... ähemm!
>
> (a) Optimaler Punkt (2/6); Minimale Kosten: 20.000,00 €
> (b) Optimaler Punkt (6/12); Maximaler Gewinn: 24.000,00 €
>
Wie M.Rex richtig bemerkte, fehlt hier die Angabe der zum Gewinn gehörenden Zielfunktion.
(Was Du berechnet hast sind die Kosten für die Produktion von 6x und 12y!)
> Nochmals VIELEN LIEBEN DANK!
Salve
Pappus
|
|
|
|
) noch einmal überprüfen, ob meine Rechnungen stimmen. Setzt man den x- und y-Wert des optimalen Punktes P in die Bedingungen für x und y so, so macht mein Ergebnis Sinn. Aber ob es nun wirklich richtig ist, wird mir hier hoffentlich jemand beantworten...
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
