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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 So 08.12.2013 | | Autor: | math38 |
| Aufgabe | „Show that when m is prime and a ≠ 0, there exists a unique Solution to the equa-
tion ax + b = 0 for the integers modulo m.”
Auf Deutsch:
„Zeige, wenn m eine Primzahl ist und a ≠ 0, dann existiert genau eine Lösung für die Gleichung: ax + b = 0 für die ganze Zahl modulo m.” |
Lösung:
Da m prim ist und a ≠ 0, sind a und m teilerfremd.
Also gilt ggT(a,m) = 1
Damit können wir die Gleichung nach x (mit der additiven Inverse von b und multiplikativen Inverse von a) umformen und erhalten
x = (−b)·a−1
Da m prim ist und die multiplikative Inverse von a existiert (wegen ggT (a, m) = 1), ist
sie auch eindeutig.
Damit ist auch die Lösung
x = (−b)·a−1
eindeutig.
Meine Frage ist:
Woher weiß ich, dass die additive Inverse von b und die multiplikative Inverse von a EINDEUTIG ist ? Und wie schreibe ich dass auf? Vielen Dank für eure Hilfen.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.matheboard.de/thread.php?postid=1850158#post1850158]
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Hallo math38,
Du rechnest im RestklassenKÖRPER modulo m. Dort sind Multiplikation mit Elementen [mm] $\not=0 [/mm] $ und Addition Äquivalenzumformungen. Hast du also eine zweite Lösung x', so kannst du die Rechnung einfach umdrehen und erhältst wiederum x'=-b/a=x.
Liebe Grüße,
UniverselllesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 So 08.12.2013 | | Autor: | math38 |
Wie kann ich das denn bei meinem Beweis noch einfügen? Meine Professorin hatte iwas gemeint mit wenn a<m ist dann ist die multiplikative inverse von a eindeutig und wenn b=m ist, dann ist die additive inverse von b eindeutig. Ich weiß es nicht mehr :S
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Ja genau. Sind dir diese Aussagen klar? Für gewöhnlich wird das sehr früh bewiesen oder wenigstens angemerkt. Und dann kannst du so vorgehen: Sei x' eine weitere Lösung von ax'+b=0. Addition von -b liefert ax'=-b und Multiplikation mit 1/a liefert x'=-b/a=x also Eindeutigkeit.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:31 So 08.12.2013 | | Autor: | math38 |
ehrlich gesagt weiss ich nicht, wie ich das mit a<m und b=m in meinem Beweis einbauen soll…
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