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| Aufgabe | Sei V ein euklidische Vektorraum der Dimension 4 und f : V -> V eine Lineare Isometrie.
Zeigen Sie:
[mm] X^4+ aX^3-aX^2-1, [/mm] falls det F = -1.
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Im Lösungsblatt steht:
Falls det F = -1 ist Normalform = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 &0 \\ 0 &0 & cosw & -sinw \\ 0 &0 & sinw & cosw}
[/mm]
Kann jemand erklären warum das so ist?
Danke im Voraus
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> Sei V ein euklidische Vektorraum der Dimension 4 und f : V
> -> V eine Lineare Isometrie.
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> Zeigen Sie:
> [mm]X^4+ aX^3-aX^2-1,[/mm] falls det F = -1.
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> Im Lösungsblatt steht:
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> Falls det F = -1 ist Normalform = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 &0 \\ 0 &0 & cosw & -sinw \\ 0 &0 & sinw & cosw}[/mm]
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> Kann jemand erklären warum das so ist?
>
> Danke im Voraus
Hallo,
in Deinem Skript steht bestimmt, daß es zu jeder isometrie eine ONB gibt, so daß die darstellende Matrix eine Bockdiagonalmatrix ist mit [mm] E_{k_1}, -E_{k_2} [/mm] und irgendwelchen 2x2-Drehmatrizen auf der Hauptdiagonalen ist.
Da Du nun im [mm] \IR^4 [/mm] bist und die Det=-1 sein soll, kommt nur Obiges infrage. (Kannst die Determinanten der anderen Möglichkeitne ja mal ausrechnen.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:52 Sa 29.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen,
> > Im Lösungsblatt steht:
> >
> > Falls det F = -1 ist Normalform = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 &0 \\ 0 &0 & cosw & -sinw \\ 0 &0 & sinw & cosw}[/mm]
>
> in Deinem Skript steht bestimmt, daß es zu jeder isometrie
> eine ONB gibt, so daß die darstellende Matrix eine
> Bockdiagonalmatrix ist mit [mm]E_{k_1}, -E_{k_2}[/mm] und
> irgendwelchen 2x2-Drehmatrizen auf der Hauptdiagonalen
> ist.
>
> Da Du nun im [mm]\IR^4[/mm] bist und die Det=-1 sein soll, kommt nur
> Obiges infrage. (Kannst die Determinanten der anderen
> Möglichkeitne ja mal ausrechnen.)
dazu sollte man beachten, dass fuer $w = [mm] \pi$ [/mm] die Matrix [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 &0 \\ 0 &0 & \cos w & -\sin w \\ 0 &0 & \sin w & \cos w}[/mm] gleich [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 &0 \\ 0 &0 & -1 & 0 \\ 0 &0 & 0 & -1}[/mm] ist. Der Fall [mm] $k_1 [/mm] = 1$, [mm] $k_2 [/mm] = 3$ ist also mit erfasst. Ebenso ist fuer $w = 0$ der Fall [mm] $k_1 [/mm] = 3$, [mm] $k_2 [/mm] = 1$ mit erfasst.
LG Felix
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