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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Do 05.02.2009 | | Autor: | E82 |
| Aufgabe | Allgemeine Lösung der DGL
[mm] y^{(4)}=4\*y^{(1)} [/mm] |
Hallo,
kann die obige Aufgabe nicht lösen. Kann mir jemand Schritt für Schritt erklären wie ich auf die Lösung komme. Literatur hab ich schon nachgeschlagen bzw. bin noch dabei. Hab bisher aber einfach keinen durchblick...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 Do 05.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Schritt: Um einen Grad reduzieren. y'=z; y''''=z'''
Damit hast du
z'''=4*z
jetzt sieht man in dem "vorrat" an bekannten fkt nach, welche ungefaehr sowas sein koennten. man findet: die Exponentialfkt abgeleitet gibt immer wieder ne Exp. fkt. Deshalb der Ansatz:
[mm] z=A*e^{\lambda*x}
[/mm]
[mm] z'=A*\lambda*e^{\lambda*x}
[/mm]
[mm] z''=A*\lambda^2*e^{\lambda*x}
[/mm]
[mm] z'''=A*\lambda^3*e^{\lambda*x}
[/mm]
einsetzen in Dgl.
[mm] A*\lambda^3*e^{\lambda*x}=4*A*e^{\lambda*x}
[/mm]
Das ist fuer alle x nur richtig, wenn
[mm] \lambda^3=4
[/mm]
Jetzt kommts drauf an, ob du komplex rechnen kannst, dann hast du 3 verschiedene dritte Wurzeln aus 4 und damit 3 unabhaengige Loesungen , die allgemeine loesung ist dann
[mm] z=C_1e^{\lambda_1*x} +C_2*e^{\lambda_2*x}+C_3e^{\lambda_3*x}
[/mm]
Wenn du nicht komplex rechnen kannst musst du dich nochmal melden.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Do 05.02.2009 | | Autor: | E82 |
Vielen Dank erstmal - denk ich habs verstanden. Schreib meine Ergebnisse mal auf - vielleicht kann sie jemand nochmal auf Korrektheit prüfen...
für [mm] \lambda^{3}=4
[/mm]
ist [mm] |r|=\wurzel{4²+0²}=4
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] = [mm] arctan(\bruch{0}{4}) [/mm] = 0
in die Formel von de Moivre eingesetzt gibt:
[mm] \lambda_{k}=\wurzel[3]{4}\*e^{j\*{\bruch{0+k\*2\pi}{3}}}; [/mm] für k=0,1,2
k=0: [mm] \lambda_{0}=\wurzel[3]{4}
[/mm]
k=1: [mm] \lambda_{1}=\wurzel[3]{4}\*e^{j\*\bruch{2}{3}\*\pi}
[/mm]
k=2: [mm] \lambda_{2}=\wurzel[3]{4}\*e^{j\*\bruch{4}{3}\*\pi}
[/mm]
Das ganze dann eingesetzt in die allgemeine Lösung:
z = [mm] C_{1}\*e^{{\wurzel[3]{4}}\*x}+C_{2}\*e^{\wurzel[3]{4}\*e^{j\*\bruch{4}{3}\*\pi}\*x}+C_{3}\*e^{\wurzel[3]{4}\*e^{j\*\bruch{4}{3}\*\pi}\*x}
[/mm]
Richtig?
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Hallo E82,
> Vielen Dank erstmal - denk ich habs verstanden. Schreib
> meine Ergebnisse mal auf - vielleicht kann sie jemand
> nochmal auf Korrektheit prüfen...
>
> für [mm]\lambda^{3}=4[/mm]
>
> ist [mm]|r|=\wurzel{4²+0²}=4[/mm]
>
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]arctan(\bruch{0}{4})[/mm] = 0
>
> in die Formel von de Moivre eingesetzt gibt:
>
> [mm]\lambda_{k}=\wurzel[3]{4}\*e^{j\*{\bruch{0+k\*2\pi}{3}}};[/mm]
> für k=0,1,2
>
> k=0: [mm]\lambda_{0}=\wurzel[3]{4}[/mm]
> k=1: [mm]\lambda_{1}=\wurzel[3]{4}\*e^{j\*\bruch{2}{3}\*\pi}[/mm]
> k=2: [mm]\lambda_{2}=\wurzel[3]{4}\*e^{j\*\bruch{4}{3}\*\pi}[/mm]
Eine Lösung der Gleichung [mm]\lambda^{3}-4=0[/mm] ist ja bekannt.
Um an die anderen Lösungen zu kommen, kannst Du eine Polynomdivision durchführen. Dann hast Du nur ein quadratische Gleichung zu lösen.
>
> Das ganze dann eingesetzt in die allgemeine Lösung:
>
> z =
> [mm]C_{1}\*e^{{\wurzel[3]{4}}\*x}+C_{2}\*e^{\wurzel[3]{4}\*e^{j\*\bruch{4}{3}\*\pi}\*x}+C_{3}\*e^{\wurzel[3]{4}\*e^{j\*\bruch{4}{3}\*\pi}\*x}[/mm]
Die allgemeine Lösung der DGL lautet:
[mm]y\left(x\right)=C_{1}\*e^{{\wurzel[3]{4}}\*x}+C_{2}\*e^{\wurzel[3]{4}\*e^{j\*\bruch{\red{2}}{3}\*\pi}\*x}+C_{3}\*e^{\wurzel[3]{4}\*e^{j\*\bruch{4}{3}\*\pi}\*x}\red{+C_{4}}[/mm]
Das kannst Du bestimmt auch noch anders schreiben,
in dem Du die Exponenten in der Form a+bi schreibst.
>
> Richtig?
>
Gruß
MathePower
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