Lineare Algebra < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:04 Sa 27.12.2008 | | Autor: | laurel |
| Aufgabe | Sei V endlich-dimesionaler K-Vektorraum, und f:V -> V ein Endomorphismus.Wir erhalten 2 Teilmengen
EDIT: [mm] U'=\red{\bigcup_{i=1}^{\infty}} ker(f^i) [/mm]
und U´´= [mm] \bigcap_{i=1}^{\infty} [/mm] im [mm] (f^i)
[/mm]
1. zu zeigen U´und U''sind Untervektorräume
2. beweisen, dass [mm] U'\cap [/mm] U''=0 und U'+U''=V gilt |
Kann mir jemand villeicht mit der aufgabe helfen??? Ich sitze schon den ganzen Tag da dran und komm nicht weiter!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Sei V endlich-dimesionaler K-Vektorraum, und f:V -> V ein
> Endomorphismus.Wir erhalten 2 Teilmengen
> [mm]U´=\bigcap_{i=1}^{\infty} ker(f^i)[/mm] und U´´=
> [mm]\bigcap_{i=1}^{\infty}[/mm] im [mm]ker(f^i)[/mm]
> 1. zu zeigen U´und U''sind Untervektorräume
> 2. beweisen, dass [mm]U'\cap[/mm] U''=0 und U'+U''=V gilt
> Kann mir jemand villeicht mit der aufgabe helfen??? Ich
> sitze schon den ganzen Tag da dran und komm nicht weiter!
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Leider bietet die Angabe der Zeit, die Du bisher mit der Aufgabe verbracht hast, keinerlei Ansatzpunkt dafür, an welcher Stelle Du hilfsbedürftig bist.
Beachte, daß wir von Dir eigene Lösungsansätze erwarten.
Vielleicht berichtest Du mal, wo Dein Problem liegt.
Was hast Du nicht verstanden?
Was ist zu zeigen, wenn man die Untervektorraumeigenschaft nachweisen möchte, und was hast Du bisher diesbezüglich getan?
Wo hast Du hier Probleme?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 Sa 27.12.2008 | | Autor: | laurel |
Das Problem ist, ich verstehe nicht so ganz, was man mit ker [mm] f^i [/mm] und im [mm] f^i [/mm] meint und wie ich mir das so vorstellen kann. Im Skript steht
wenn f: V -> W, dann ker f= [mm] \{x\inV, f(x)=0\}\subset [/mm] V und im f = [mm] \{f(x), x\inV\}\subset [/mm] W. Gilt es auch hier?
|
|
|
| |
|
> Das Problem ist, ich verstehe nicht so ganz, was man mit
> ker [mm]f^i[/mm] und im [mm]f^i[/mm] meint und wie ich mir das so vorstellen
> kann. Im Skript steht
> wenn f: V -> W, dann ker f= [mm]\{x\inV, f(x)=0\}\subset[/mm] V und
> im f = [mm]\{f(x), x\inV\}\subset[/mm] W. Gilt es auch hier?
Hallo,
der Kern einer Abbildung ist ja all das, was auf die Null abgebildet wird, und Ihr habt gezeigt, daß daß der kern einer linearen Abbildung ein Unter(Vektorraum) ist.
Mit [mm] f^i [/mm] ist die i-malige Nacheinanderausführung der Abbildung f gemeint, also [mm] f^i=\underbrace{f\circf\circ ...\circ f}_{i-mal}.
[/mm]
Im Kern von z.B. [mm] f^5 [/mm] sind also all die x [mm] \in [/mm] V, für welche [mm] f^5(x)=0 [/mm] gilt.
Zu bedenken (oder sogar zu zeigen?) ist vielleicht noch, daß [mm] kernf^k \subseteq kernf^{k+1}.
[/mm]
Du sollst nun zeigen, daß der Durchschnitt all der Kerne ein UVR von V ist.
im [mm] f^i [/mm] ist entsprechend das Bild der Abbildung [mm] f^i, [/mm] also all die Elemente der Bildmenge, auf welche vermöge [mm] f^i [/mm] Elemente abgebildet werden.
>>> U´´= $ [mm] \bigcap_{i=1}^{\infty} [/mm] $ im $ [mm] ker(f^i) [/mm] $
ist ja sicher ein Fehler, das sollte doch bestimmt U´´= $ [mm] \bigcap_{i=1}^{\infty} [/mm] $ im [mm] (f^i) [/mm] $ heißen, oder?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 Sa 27.12.2008 | | Autor: | laurel |
Vielen Dank für deine Hiife!!!! Und ich glaube es gibt keinen Fehler, in der Aufgabe stehts so wie ich das geschrieben hab.
Viele-vielen Dank
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Sa 27.12.2008 | | Autor: | laurel |
Hi, Angela!!
Hier hab ich einen Beweis zusammengestellt, kann ich den so formulieren:
Seien a,b [mm] \in [/mm] U´ sodass [mm] a\in [/mm] ker [mm] f^k [/mm] und b [mm] \in [/mm] ker f^(k+1), d.h [mm] f^k(a)=0 [/mm] und f^(k+1)(b)=0
[mm] f\circf^k(a+b)=f\circ f^k(a) [/mm] + [mm] f\circ f^k(b) [/mm]
= [mm] f(f^k(a)) [/mm] + f^(k+1)(b)
=f(0)+0
[mm] \Rightarrow [/mm] a+b [mm] \in [/mm] ker f^(k+1) oder a+b [mm] \in [/mm] ker [mm] f^k \Rightarrow [/mm] a+b [mm] \in [/mm] U´
somit wird die Bedingung erfühlt wenn a,b [mm] \in [/mm] U, dann a+b [mm] \in [/mm] U
Da [mm] U'=\{0\}\cup kerf\cup kerf^2\cup kerf^3... \Rightarrow U´\not=\emptyset [/mm]
bleibt zu zeigen wenn [mm] \lambda\in [/mm] K und [mm] a\in [/mm] U´, dann [mm] \lambda*a \in [/mm] U´
das mache ich dann noch
|
|
|
| |
|
> Hier hab ich einen Beweis zusammengestellt, kann ich den
> so formulieren:
Hallo,
am besten zeigt man immer erstmal, daß der Raum, von welchem man zeigen will, daß es ein UVR ist, nichtleer ist.
Überlege Dir, welches Element auf jeden Fall in U' liegt.
> Seien a,b [mm]\in[/mm] U´
Nun willst Du zeigen, daß auch a+b [mm] \in [/mm] U' liegt.
> sodass [mm]a\in[/mm] ker [mm]f^k[/mm] und b [mm]\in[/mm] ker
> f^(k+1), d.h [mm]f^k(a)=0[/mm] und f^(k+1)(b)=0
Nein, daß a,b [mm] \in [/mm] U' , bedeutet, daß a und b beide im Durchschnitt sämtlicher Kerne der [mm] f^i [/mm] liegen.
Nun muß gezeigt werden, daß das auch für das Element a+b gilt.
> [mm]\Rightarrow[/mm] a+b [mm]\in[/mm] ker f^(k+1) oder a+b [mm]\in[/mm] ker [mm]f^k \Rightarrow[/mm]
> a+b [mm]\in[/mm] U´
> somit wird die Bedingung erfühlt wenn a,b [mm]\in[/mm] U, dann a+b
> [mm]\in[/mm] U
> Da [mm] U'=\{0\}\cup kerf\cup kerf^2\cup kerf^3... [/mm]
Mach' keine Witze! Im Eingangspost war vom Durchschnitt die Rede!
Das sollten wir vielleicht erstmal klären...
Gruß v. Angela
Rightarrow [mm] U´\not=\emptyset
[/mm]
> bleibt zu zeigen wenn [mm]\lambda\in[/mm] K und [mm]a\in[/mm] U´, dann
> [mm]\lambda*a \in[/mm] U´
> das mache ich dann noch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Sa 27.12.2008 | | Autor: | laurel |
Es tut mir leid, ich hab mich verschrieben, das ist mein erster eintrag wusste nicht genau wie das geht! Sorry
Gruß
|
|
|
| |
|
Und wie soll's nun richtig heißen? Durchschnitt oder Vereinigung?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 Sa 27.12.2008 | | Autor: | laurel |
Für Kerne sollte es Vereinigung sein und für Bilder- Durchschnitt
Gruß v. laurel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Sa 27.12.2008 | | Autor: | laurel |
Soll ich dann vll einfach sagen: wenn a und b in der menge sämtlicher Kerne liegen, dann ergibt ihre weitere Abbildung 0, somit, weil die Abbildung linear ist, folgt : f(a)+f(b)=0+0 => f(a+b)=0 => a+b ligt in U'
|
|
|
| |
|
> Soll ich dann vll einfach sagen: wenn a und b in der menge
> sämtlicher Kerne liegen,
Hallo,
nein.
Denn inzwischen ist U' ja nicht mehr der Durchschnitt der Kerne, sondern ihre Vereinigung.
Gruß v. Angela
dann ergibt ihre weitere Abbildung
> 0, somit, weil die Abbildung linear ist, folgt :
> f(a)+f(b)=0+0 => f(a+b)=0 => a+b ligt in U'
|
|
|
| |
|
> Hi, Angela!!
> Hier hab ich einen Beweis zusammengestellt, kann ich den
> so formulieren:
> Seien a,b [mm]\in[/mm] U´ sodass [mm]a\in[/mm] ker [mm]f^k[/mm] und b [mm]\in[/mm] ker
> f^(k+1), d.h [mm]f^k(a)=0[/mm] und f^(k+1)(b)=0
Hallo,
das ist zu wenig allgemein.
Wenn die beide aus U' sind, heißt das ja nicht von vornherein, daß sie aufeinanderfolgenden Kernen entstammen.
Sondern: es gibt k,l mit
[mm] a\in [/mm] kern [mm] f^k [/mm] und [mm] b\in [/mm] kern [mm] f^l.
[/mm]
Nun kannst Du deinen Gedanken vorrechnen, indem Du [mm] f^{k+l}(a+b) [/mm] ausrechnest.
Oder Du sagst: [mm] l\ge [/mm] k, also gibt es ein m mit l=k+m, und Du berechnest [mm] f^l(a+b).
[/mm]
Wenn 0 herauskommt, liegt a+b in der Vereinigung der Kerne.
gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:22 So 28.12.2008 | | Autor: | laurel |
Ach so!!!!Genau das gleiche muss ich auch mit den Bildern machen?Danke schön für deine Hilfe und Geduld!!:))
Gruß
|
|
|
| |
|
> Ach so!!!!Genau das gleiche muss ich auch mit den Bildern
> machen?Danke schön für deine Hilfe und Geduld!!:))
> Gruß
Hallo,
es kommt nun drauf an, was Du unter "genau das gleiche" verstehst.
Beim Bild hast Du's ja mit dem Durchschnitt zu tun, aber die Vorgehensweise ist natürlich ähnlich.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 So 28.12.2008 | | Autor: | laurel |
Das ist jetzt mein Beweis für Durchschnitt der Bilder:
1. da V ein K-Vektorraum ist, 0 [mm] \in [/mm] V. Weil die Abbildung linear ist, das Bild von 0 ergibt immer 0, also muss 0 in Durchschnittsmenge der Bilder liegen => 0 [mm] \in [/mm] U´´ => [mm] U''\not=\emptyset
[/mm]
2. Seien a,b [mm] \in [/mm] U´´ mit a [mm] \in [/mm] im [mm] f^m [/mm] und b [mm] \in [/mm] im [mm] f^l
[/mm]
Sei k [mm] \ge [/mm] l => es existiert n mit k=l+n
[mm] f^k(a+b)= f^k(a)+f^k(b)
[/mm]
=f^(l+n)(a)+f^(l+n)(b)
[mm] =f^l(f^n(a))+f^n(f^l(b))
[/mm]
=im [mm] f^l(f^n(a))+im f^n(f^l(b))
[/mm]
=im [mm] f^l(im f^n(a))+im f^n(im f^l(b))
[/mm]
=> a lieg wie in im [mm] f^l [/mm] als auch in im [mm] f^n [/mm] das gleiche gilt auch für b, d.h (a+b) ligt in den beiden Bildern also (a+b) [mm] \in [/mm] U´´
|
|
|
| |
|
> Das ist jetzt mein Beweis für Durchschnitt der Bilder:
> 1. da V ein K-Vektorraum ist, 0 [mm]\in[/mm] V. Weil die Abbildung
[mm] f^i [/mm]
> linear ist,
für jedes i [mm] \in \IN
[/mm]
> das Bild von 0 ergibt immer 0, also muss 0 in
> Durchschnittsmenge der Bilder liegen => 0 [mm]\in[/mm] U´´ =>
> [mm]U''\not=\emptyset[/mm]
> 2. Seien a,b [mm]\in[/mm] U´´ mit a [mm]\in[/mm] im [mm]f^m[/mm] und b [mm]\in[/mm] im [mm]f^l[/mm]
Nein, das ist nicht das Wesen von U''. U'' ist ja der Schnitt der Bilder.
Die Elemente, die in U'' liegen, sind für jedes [mm] i\in \IN [/mm] i [mm] im(f^i).
[/mm]
Seien also a,b [mm] \in [/mm] U''.
Für jedes [mm] i\in \IN [/mm] gilt dann: [mm] a,b\in im(f^i),
[/mm]
und Du mußt nun zeigen, daß dies auch für a+b gilt.
Der Schlüssel hierzu ist die Linearität der [mm] f^i [/mm] (- falls diese in der VL oder Übung nicht gezeigt wurde, mußt Du es übrigens tun).
Du mußt nun vorrechnen, daß für jedes [mm] i\in \IN a+b\in im(f^i) [/mm] ist.
Das, was Du unten schreibst, wirkt ein bißchen (oder genauer: sehr stark...) so, als wüßtest Du gar nicht, was es bedeutet, wenn ein Element im Bild einer Abbildung ist.
Mach Dich diesbezüglich erstmal schlau und starte dann einen neuen Versuch.
Gruß v. Angela
> Sei k [mm]\ge[/mm] l => es existiert n mit k=l+n
> [mm]f^k(a+b)= f^k(a)+f^k(b)[/mm]
>
> =f^(l+n)(a)+f^(l+n)(b)
> [mm]=f^l(f^n(a))+f^n(f^l(b))[/mm]
> =im [mm]f^l(f^n(a))+im f^n(f^l(b))[/mm]
>
> =im [mm]f^l(im f^n(a))+im f^n(im f^l(b))[/mm]
> => a lieg wie in im
> [mm]f^l[/mm] als auch in im [mm]f^n[/mm] das gleiche gilt auch für b, d.h
> (a+b) ligt in den beiden Bildern also (a+b) [mm]\in[/mm] U´´
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 So 28.12.2008 | | Autor: | laurel |
2. seien also a´, b´ [mm] \in [/mm] U'', d.h für jedes i [mm] \in \IN [/mm] gilt [mm] a',b'\in [/mm] im [mm] f^i
[/mm]
Seien a´= [mm] f^i(a) [/mm] und [mm] b´=f^i(b) [/mm]
Da die Verkettung von den linearen Abbildungen linear ist, folg die Linearität der Verkettung
=> a´+ b´= [mm] f^i(a)+f^i(b)=f^i(a+b)
[/mm]
=> [mm] a´+b´\in [/mm] im [mm] f^i [/mm] => a´+b´ [mm] \in [/mm] U''
Wäre es so besser? Danke
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo,
poste Rückfragen zu Antworten besser als Frage, also mit dem roten Kästchen. So werden sie von jedem gesehen.
> 2. seien also a´, b´ [mm]\in[/mm] U'', d.h für jedes i [mm]\in \IN[/mm] gilt
> [mm]a',b'\in[/mm] im [mm]f^i[/mm]
Dann gibt es für jedes [mm] i\in \IN a_i,b_i\in [/mm] V mit
> a´= [mm]f^i(a_i)[/mm] und [mm]b´=f^i(b_i)[/mm] .
> Da die Verkettung von den linearen Abbildungen linear ist,
> folg die Linearität der Verkettung [mm] f^i.
[/mm]
Es ist
> a´+ b´= [mm]f^i(a_i)+f^i(b_i)=f^i(a_i+b_i)[/mm]
> => [mm]a´+b´\in[/mm] im [mm]f^i[/mm]
für jedes [mm] i\in \IN.
[/mm]
=> a´+b´ [mm]\in[/mm] U''
> Wäre es so besser?
Ja.
Beachte, daß ich Deine a,b indiziert habe.
Es ist ja nicht gesagt, daß [mm] a'=f^5(a) [/mm] ist, und daß [mm] f^{4711}(a) [/mm] auch wieder a' ergibt. Entscheident ist, daß man irgendein [mm] a_{4711} [/mm] findet, welches durch [mm] f^{4711} [/mm] auf a' abgebildet wird.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:02 So 28.12.2008 | | Autor: | laurel |
Vielen vielen vielen Dank, Angela!!!!Dub hast mir sehr geholfen!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 Sa 27.12.2008 | | Autor: | laurel |
ups tut mir leid, du hattest wirklich recht, ich hab mich da wirklich verschrieben :)
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 So 28.12.2008 | | Autor: | laurel |
| Aufgabe | | 2. beweisen, dass [mm] U''\cap [/mm] U'=0 und U'+U''=V gilt |
Hallo!
ich versuche nun mit dem Aufgabenteil fertigzuwerden. Es muss gezeigt werden U´+ U´´= V
Soll ich hier die Bedingung in Anspruch nehmen, dass V endlich-dimensionaler K-Vektorraum ist?
Danke
Gruß
|
|
|
| |
|
> 2. beweisen, dass [mm]U''\cap[/mm] U'=0 und U'+U''=V gilt
> Hallo!
> ich versuche nun mit dem Aufgabenteil fertigzuwerden. Es
> muss gezeigt werden U´+ U´´= V
> Soll ich hier die Bedingung in Anspruch nehmen, dass V
> endlich-dimensionaler K-Vektorraum ist?
Hallo,
Du müßtest etwas genauer sagen, wie Du Dir diese Inanspruchnahme vorstellst.
Prinzipiell ist für U´+ U´´= V ja zu zeigen, daß Du jedes Element [mm] v\in [/mm] V schreiben kannst als v=u'+u'' mit [mm] u'\in [/mm] U' und u'' [mm] \in [/mm] U''.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 10:58 Mo 29.12.2008 | | Autor: | laurel |
HI, Angela!!!
Hier ist mein Beweis:
zu zeigen ist also : für jedes v [mm] \in [/mm] V: v=u´+u´´
Sei [mm] v=f^i(v_i) \in [/mm] U´´
[mm] v=v+f^i(v_i)-f^i(v_i)
[/mm]
bleibt zu zeigen: [mm] v-f^i(v_i) \in [/mm] ker [mm] f^i
[/mm]
[mm] v-f^i(v_i)= [/mm] v-v=0
[mm] =>v-f^i(v_i) \in [/mm] ker [mm] f^i [/mm] => [mm] v-f^i(v_i) \in [/mm] U´
Gruß
|
|
|
| |
|
> HI, Angela!!!
> Hier ist mein Beweis:
Hallo,
so geht das leider noch nicht.
> zu zeigen ist also : für jedes v [mm]\in[/mm] V: v=u´+u´´
> Sei [mm]v=f^i(v_i) \in[/mm] U´´
Dieser Gedanke ist ja nicht richtig.
Wenn v [mm] \in im(f^i), [/mm] so ist ja v nicht unbedingt in U'', denn in U'' sind diejenigen Vektoren, die im Bild einer jeden der Abbildungen [mm] f^i [/mm] liegen.
Hier müßtest Du nochmal genauer nachdenken.
(Ich habe im Moment weder Zettel noch Stift zur Hand, was für mich zur Folge hat, daß jeder Versuch des Denkens nutzlos ist. Ohne kann ich nicht. Vielleicht später.)
Gruß v. Angela
P.S.: Stell solche Rückfragen ruhig als Fragen und nicht als Mitteilungen, damit sie auch von anderen, die helfen könnten, gesehen werden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Mo 29.12.2008 | | Autor: | laurel |
Hi, Angela!!
Dann muss ich meine Voraussetzungen einfach anders formulieren?
Sei also v [mm] \in [/mm] U´´, d.h für jedes i [mm] \in \IN [/mm] gilt v [mm] \in [/mm] im [mm] f^i
[/mm]
dann für jedes [mm] i\in\IN v_i \in [/mm] V: [mm] v=f^i(v_i) [/mm] => [mm] v-f^i(v_i)=0
[/mm]
Andererseits [mm] v=v+f^i(v_i)-f^i(v_i) [/mm] = [mm] (v-f^i(v_i))+f^i(v_i) [/mm] = [mm] 0+f^i(v_i),
[/mm]
d.h also v = u´+u´´ => V = U´+ U´´
|
|
|
| |
|
> Hi, Angela!!
> Dann muss ich meine Voraussetzungen einfach anders
> formulieren?
Hallo,
nein, es hängt hier nicht nur an "Formulierungen".
> Sei also v [mm]\in[/mm] U´´,
In diesem Fall kann man natürlich v schreiben als u'+u'' mit u' [mm] \in [/mm] U' und [mm] u''\in [/mm] U'', denn es ist [mm] v=\underbrace{0}_{\in U'}+\underbrace{v}_{\in U''}.
[/mm]
Dafür gibt's also nicht viel zu denken...
Die bange Frage an dieser Stelle wäre: was ist, wenn [mm] v\not\in [/mm] U'' ? Kann man auch dann v schreiben als v=u'+u'' mit u' [mm] \in [/mm] U' und [mm] u''\in [/mm] U''?
Das wäre zu untersuchen.
Vielleicht überlegst Du Dir mal, daß (bzw. warum) ein von 0 verschiedenes Element [mm] v\in [/mm] V nur entweder in U' oder in U'' liegen kann.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Mo 29.12.2008 | | Autor: | laurel |
Hallo!!
Das von 0 verschiedenes Element aus V kann in U´ liegen, weil es, wenn man " oft genug " die Abbildung darauf anwendet, irgendwann 0 werden kann. Wenn aber es nie 0 wird, dann muss es immer einen Vektor ergeben, der im Untervektorraum U'' liegt...? Ich bin an der Stelle irgendwie verwirrt...
Gruß
|
|
|
| |
|
> Hallo!!
> Das von 0 verschiedenes Element aus V kann in U´ liegen,
> weil es, wenn man " oft genug " die Abbildung darauf
> anwendet, irgendwann 0 werden kann.
Hallo,
"weil es" ist hier eigentlich verkehrt.
Eher: "wenn es" irgendwann auf die 0 abgebildet wird, ist es in U'.
> aber es nie 0
> wird, dann muss es immer einen Vektor ergeben, der im
> Untervektorraum U'' liegt...?
Nicht irgendeinen Vektor.
Meine Behauptung war ja: dann liegt v in U''.
(Ich hoffe, daß ich hiermit nicht ganz stark danebengegriffen habe...)
> Ich bin an der Stelle
> irgendwie verwirrt...
Das ist auch nichts, was man auf den ersten Blick sieht, finde ich.
Überlege Dir folgendes: der Vektorraum V ist endlichdimensional die Kette [mm] kernf\subseteq [/mm] Kern [mm] f^{2}\subseteq... \subseteq Kernf^i\subseteq [/mm] Kern [mm] f^{i+1} [/mm] wird ab irgendeinem [mm] i_0 [/mm] stationär,
ebenso wird Kette im [mm] f^{i+1}\subseteq f^{i} \subseteq [/mm] ... [mm] \subseteq [/mm] im [mm] f^2\subseteq [/mm] imf ab irgendeinem [mm] i_1 [/mm] stationär.
Damit hast Du U' und U'' fest im Griff: es gibt ein k mit U'= [mm] Kernf^k [/mm] und [mm] U''=Imf^k.
[/mm]
Du kannst jetzt zeigen, daß die 0 das einzige Element ist, welches im Schnitt von U' und U'' liegt.
Dann nimm an, daß es ein Element aus V gibt, welches weder in U' noch in U'' liegt, und versuche, dies zum Widerspruch zu führen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:54 Mo 29.12.2008 | | Autor: | laurel |
Hallo!!!!
Hier ist noch ein mein Versuch, hoffe es ist mehr oder weniger richtig:
der Vektorraum ist endlich-dimensional, d.h aber auch, dass alle seine Untervektorräume auch endlich -dimensional sind =>
ker f [mm] \subseteq [/mm] ker [mm] f^2 \subseteq [/mm] ... [mm] \subseteq [/mm] ker [mm] f^i \subseteq [/mm] ker f^(i+1) [mm] \subseteq [/mm] ... [mm] \subseteq [/mm] ker [mm] f^k [/mm] = ker f^(k+1)=...
und
im f^(i+1) [mm] \subseteq [/mm] im [mm] f^i \subseteq [/mm] ... [mm] \subseteq [/mm] im [mm] f^k [/mm] = ... =im [mm] f^2=im [/mm] f
(kann ich das so formulieren?)
=> es existiert ein [mm] k\in\IN [/mm] mit U´=ker [mm] f^k [/mm] und U´´=im [mm] f^k
[/mm]
Weil in U´ alle Elemente aus V liegen, die irgendwann auf 0 abgebildet werden => 0 [mm] \in [/mm] U´
Außerdem ist das Bild von 0 immer gleich 0, d.h 0 [mm] \in [/mm] U''
=> U' [mm] \cap [/mm] U''= 0
Angenommen, es existiert ein v [mm] \in [/mm] V mit v [mm] \not\in [/mm] U' und v [mm] \not\in [/mm] U''
Wenn v [mm] \not\in [/mm] U', dann v [mm] \not\in [/mm] ker [mm] f^k [/mm]
=> v kann nicht auf 0 abgebildet werden
aber v [mm] \not\in [/mm] U´´ => es existiert kein Vektor, der auf v abgebildet werden kann, da aber die Abbildung linear ist, hat jeder Vektor des Vektorraums ein Bild, das auch in dem Vektorraum liegt und das ist Widerspruch zu der Annahme => für jedes v [mm] \in [/mm] V gilt v [mm] \in [/mm] U' oder [mm] v\in [/mm] U''=> v=u´+u´´
Vielen Dank
Gruß
|
|
|
| |
|
> Hallo!!!!
> Hier ist noch ein mein Versuch, hoffe es ist mehr oder
> weniger richtig:
> der Vektorraum ist endlich-dimensional, d.h aber auch,
> dass alle seine Untervektorräume auch endlich -dimensional
> sind =>
> ker f [mm]\subseteq[/mm] ker [mm]f^2 \subseteq[/mm] ... [mm]\subseteq[/mm] ker [mm]f^i \subseteq[/mm]
> ker f^(i+1) [mm]\subseteq[/mm] ... [mm]\subseteq[/mm] ker [mm]f^k[/mm] = ker
> f^(k+1)=...
> und
> im f^(i+1) [mm]\subseteq[/mm] im [mm]f^i \subseteq[/mm] ... [mm]\subseteq[/mm] im [mm]f^k[/mm]
> = ... =im [mm]f^2=im[/mm] f
> (kann ich das so formulieren?)
> => es existiert ein [mm]k\in\IN[/mm] mit U´=ker [mm]f^k[/mm] und U´´=im [mm]f^k[/mm]
Hallo,
das wäre zu begründen.
> Weil in U´ alle Elemente aus V liegen, die irgendwann auf
> 0 abgebildet werden => 0 [mm]\in[/mm] U´
> Außerdem ist das Bild von 0 immer gleich 0, d.h 0 [mm]\in[/mm] U''
> => U' [mm]\cap[/mm] U''= 0
Nein. Du hast jetzt gezeigt, daß [mm] 0\in U'\cap [/mm] U'' liegt, also [mm] \{0\}\subseteq U'\cap [/mm] U''.
Das ist nicht sonderlich interessant, dann da bekannterweise die Schnitte von Untervektorräumen UVRe sind, kann das nicht anders sein.
Die Interessante ist die andere Inklusion, daß also die Null das einzige Element in [mm] U'\cap [/mm] U'' ist.
> Angenommen, es existiert ein v [mm]\in[/mm] V mit v [mm]\not\in[/mm] U' und
> v [mm]\not\in[/mm] U''
> Wenn v [mm]\not\in[/mm] U', dann v [mm]\not\in[/mm] ker [mm]f^k[/mm]
> => v kann nicht auf 0 abgebildet werden,
dh. [mm] f^k(v)\not=0.
[/mm]
> aber v [mm]\not\in[/mm] U´´ => es existiert kein Vektor, der auf v
> abgebildet werden kann,
für alle [mm] w\in [/mm] V ist also [mm] f^k(w)\not=v.
[/mm]
> da aber die Abbildung linear ist,
> hat jeder Vektor des Vektorraums ein Bild, das auch in dem
> Vektorraum liegt und das ist Widerspruch zu der Annahme
ich sehe den Widerspruch nicht. Das Bild von [mm] f^k(w) [/mm] ist zwar nicht v, aber wieso sollte es nicht in V liegen?
Du mußt hier die Dimensionen ins Spiel bringen.
Du kannst zeigen, daß (V \ [mm] (U\cap U''))\cap [/mm] {0} ein VR ist, und Du kannst dies mit Dimensionsgründen für den Fall, daß V \ [mm] (U\cap [/mm] U'') nicht leer ist, zu einem Widerspruch führen.
Mir fällt auf, daß du mitunter Schlüsse ohne Begründung ziehst. Das darfst Du nicht tun. Du mußt Dich stets fragen: warum gilt das?, und Du mußt natürlich eine Begründung parat haben. Für Dich selbst, aber natürlich auch für den Korrektor. Wenn nicht, kannst Du Dir das Hinschreiben des Schlusses sparen.
Daß die Korrektur nicht auf Täuschungsmanöver "offensichtlich ist" und "wie man leicht sieht" hereinfällt, hast Du vermutlich schon gemerkt.
Gruß v. Angela
> =>
> für jedes v [mm]\in[/mm] V gilt v [mm]\in[/mm] U' oder [mm]v\in[/mm] U''=> v=u´+u´´
> Vielen Dank
> Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Di 30.12.2008 | | Autor: | laurel |
Hi, Angela!!!
Ich hab jetzt versuch zu beweisen, das 0 das einzige Element, das in [mm] U'\cap [/mm] U´´ liegt.
Angenommen, es gäbe noch ein Element a, sodass
a [mm] \in [/mm] ker [mm] f^k [/mm] und a [mm] \in [/mm] im [mm] f^l
[/mm]
wenn a [mm] \in [/mm] ker [mm] f^k, [/mm] dann [mm] f^k(a)=0
[/mm]
wenn a [mm] \in [/mm] im [mm] f^l, [/mm] dann existiert ein [mm] a_l [/mm] mit [mm] f^´l(a_l)=a
[/mm]
wenn k>l dann [mm] f^k(f^l(a_l))= f^k(a)=0
[/mm]
wenn k<l, dann [mm] f^l(f^k(a))=f^l(a_l)=a [/mm]
das gil wenn [mm] f^k(a)=a_l=0
[/mm]
d.h [mm] U'\cap [/mm] U''=0 eindeutig
Ich versuchte dann zu beweisen, dass V\ [mm] (U'\cap U'')\cap \{0\}
[/mm]
mithilfe der Dimensionen, aber ich komme nicht weiter
ich kann noch beweisen, dass V\ [mm] (U'\cap U'')\cap \{0\} [/mm] leer ist, aber das hilft mir auch nicht weiter. Ich bin verzweifelt
gruß
|
|
|
| |
|
> Hi, Angela!!!
> Ich hab jetzt versuch zu beweisen, das 0 das einzige
> Element, das in [mm]U'\cap[/mm] U´´ liegt.
Hallo,
das sieht nun schon ganz manierlich aus.
Einzig ist mir [mm] f^l [/mm] nicht recht klar, wir hatten doch zuvor festgestellt, daß [mm] U''=imf^k [/mm] ist.
(Halltest Du eigentlich auch schon begründet, warum die Bild- und Kernkette stationär werden? Sie werden es jedenfalls, und das wird benötigt.)
> Angenommen, es gäbe noch ein [mm] a\in \red{U'}= [/mm] ker [mm]f^k[/mm] und a [mm]\in[/mm] [mm] \red{U''}= [/mm] im [mm]f^\red{k}[/mm]
> wenn a [mm]\in[/mm] ker [mm]f^k,[/mm] dann [mm]f^k(a)=0[/mm]
> wenn a [mm]\in[/mm] im [mm]f^\red{k},[/mm] dann existiert ein [mm]a_\red{k}[/mm] mit [mm] f^{\red{k}}(a_{\red{k}})=a
[/mm]
Also ist [mm] f^{2k}(a_k)
[/mm]
> [mm]f^k(f^{\red{k}}(a_k))= f^k(a)=0[/mm]
Also ist [mm] a_k \in Kernf^{2k}= Kernf^k [/mm] (s. oben: stationäre Kette)
==> [mm] a=f^k(a_k)=0
[/mm]
==> a=0. fertig.
Der Witz war die stationäre Kette.
Du weißt jetzt also, daß das einzige gemeinsame Element von U' und U'' die 0 ist.
Du weißt auch, daß dimU' + dimU''=dim V ist. (Warum eigentlich?)
Was man nun noch zeigen will, ist, daß V genau aus den Vektoren von U' und U'' besteht.
Dafür kann man annehmen, daß das Gegenteil der Fall ist.
Sei dafür [mm] v\in [/mm] V \ (U' [mm] \cup [/mm] U'').
Zeige, daß jedes Vielfache [mm] \lambda [/mm] v für [mm] \lambda \not=0 [/mm] auch in V \ (U' [mm] \cup [/mm] U'') ist.
Also enthält (V \ (U' [mm] \cup U''))\cup\{0\} [/mm] mindestens einen Unterraum der Dimension 1.
Suche nun den Widerspruch zu dimU' + dimU''=dim V.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:57 Mi 31.12.2008 | | Autor: | laurel |
Hi, Angela!!!
Also bleibt zu zeigen U'+U''=V, zu beweisen ist dann
V \ (U' [mm] \cup [/mm] U'') [mm] =\emptyset
[/mm]
Angenommen, V \ (U' [mm] \cup [/mm] U'') [mm] \not=\emptyset
[/mm]
dann existiert ein v [mm] \in [/mm] V \ (U' [mm] \cup [/mm] U'')
weil die Abbildung linear ist, folgt
[mm] f^n (\lambda [/mm] v) = [mm] \lambda f^n (v)=\lambda [/mm] v , da es nur ein Element in der Menge V \ (U' [mm] \cup [/mm] U'') gibt und da v [mm] \not\in [/mm] ker [mm] f^k [/mm] und v [mm] \not\in [/mm] im [mm] f^k
[/mm]
=> V \ (U' [mm] \cup [/mm] U'') enthält mindestens ein Unterraum mit der Dimension 1
=> dim V - (dim U'+dim U'')=1
<=> dim V= dim U' + dim U''+1
das sollte Widerspruch zu der Tatsache sein , dass dim V= dim U'+dim U''
also V \ (U' [mm] \cup [/mm] U'') [mm] =\emptyset [/mm] und somit U'+U''=V
Ich hätte noch eine Frage.Wäre es möglich einfach zu zeigen, dass V \ (U' [mm] \cup [/mm] U'') [mm] =\emptyset [/mm] => V= [mm] U'\cup [/mm] U'', d.h V = U'+U'' ?
und außerdemm weiß ich ja nicht, dass V= dim U'+dim U'', wäre es so könnte ich dann sofort sagen V = U'+U'' oder liege ich irgendwie falsch??
DANKE
Gruß
|
|
|
| |
|
!
> Also bleibt zu zeigen U'+U''=V, zu beweisen ist dann
> V \ (U' [mm]\cup[/mm] U'') [mm]=\emptyset[/mm]
Hallo,
es ist eigentlich etwas anders: wenn Du weißt, daß V \ (U' [mm]\cup[/mm] U'') [mm][mm] =\emptyset, [/mm] so ist V [mm] \subseteq [/mm] U' [mm]\cup[/mm] U'' ,
d.h. jedes Element von V liegt in U' oder U'', und damit hat man dann U'+U''.
> Angenommen, V \ (U' [mm]\cup[/mm] U'') [mm]\not=\emptyset[/mm]
> dann existiert ein v [mm]\in[/mm] V \ (U' [mm]\cup[/mm] U'')
> weil die Abbildung linear ist, folgt
> [mm]f^n (\lambda[/mm] v) = [mm]\lambda f^n (v)=\lambda[/mm] v , da es nur
> ein Element in der Menge V \ (U' [mm]\cup[/mm] U'') gibt
Nein, wieso sollte es nur ein Element in der Menge geben? Davon ist doch nirgends die Rede.
Wenn man die Existenz eines Elementes annimmt, unterscheidet sich das sehr von der Annahme, daß die Menge aus genau einem Element besteht.
> Ich hätte noch eine Frage.Wäre es möglich einfach zu
> zeigen, dass V \ (U' [mm]\cup[/mm] U'') [mm]=\emptyset[/mm] => V=
> [mm]U'\cup[/mm] U'',
Aus V \ (U' [mm]\cup[/mm] U'') [mm]=\emptyset[/mm] folgt zunächst, daß V [mm] \subseteq [/mm] U' [mm]\cup[/mm] U''.
Die umgekehrte Inklusion ist hier aber klar, also folgt tatsächlich, daß V = U' [mm]\cup[/mm] U''
> d.h V = U'+U'' ?
Das ergibt sich dann zwangsläufig - mach Dir klar, warum.
> und außerdemm weiß ich ja nicht, dass V= dim U'+dim U'',
Das sowieso nicht. Sondern dimV=dimU'+dimU''. (Du solltest Dir ja überlegen warum bzww. nach welchem Satz.)
> wäre es so könnte ich dann sofort sagen V = U'+U''
Wenn Dir zu zeigen gelingt, daß V \ (U' [mm]\cup[/mm] U'') [mm]=\emptyset[/mm] , kannst Du das sofort folgern, ja.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Mi 31.12.2008 | | Autor: | laurel |
Hallo, Angela!!
Achso, dann ist es klar!Dann muss ich dann schreiben:
zu beweisen ist, wenn V \ (U' [mm] \cup [/mm] U'') = [mm] \emptyset, [/mm] dann ist V [mm] \subseteq [/mm] U' [mm] \cup [/mm] U'' ,
d.h. jedes Element von V liegt in U' oder U'', und damit V=U'+U''
Angenommen, V \ (U' [mm] \cup [/mm] U'') [mm] \not= \emptyset
[/mm]
dann existiert ein v [mm] \in [/mm] V \ (U' [mm] \cup [/mm] U'')
weil die Abbildung linear ist, folgt
[mm] f^n(\lambda [/mm] v) = [mm] \lambda f^n(v)= \lambda [/mm] v , da v [mm] \not\in [/mm] ker [mm] f^n [/mm] und v [mm] \not\in [/mm] im [mm] f^n
[/mm]
=> V \ (U' [mm] \cup [/mm] U'') [mm] \cup \{0 \} [/mm] enthält mindestens ein Unterraum mit der Dimension 1
=> dim V - dim(U'+U'')+dim( U' [mm] \cap [/mm] U'')=1
<=> dim V - ( dim U'+dim U'')=1
Folgt die Gleichung dim V = dim U´+dim U'' aus der Tatsache, dass wenn V endlich-dimensional ist, dann müssen alle seine UVR auch endlich-dimensional sein und dim V = dim ker f + rang f, rang ist aber
rang f = dim f(V), also rang von f ist Dimension des Bildes, deswegen kann ich sagen dim V = dim U'+dim ''?
Dann kann ich dann die obige Gleichung zum Widerspruch führen???!!!
Gruß
|
|
|
| |
|
> Angenommen, V \ (U' [mm]\cup[/mm] U'') [mm]\not= \emptyset[/mm]
> dann
> existiert ein v [mm]\in[/mm] V \ (U' [mm]\cup[/mm] U'')
> weil die Abbildung linear ist, folgt
> [mm]f^n(\lambda[/mm] v) = [mm]\lambda f^n(v)= \lambda[/mm] v
Hallo,
Du gehst immer noch davon aus, daß f^ --- warum eigentlich "hoch n", das hieß doch k, oder? - [mm] f^k(v)=v [/mm] ist. Aber das stimmt doch nicht. Es könnten doch eventuell noch Tausende von anderen Elementen, die auch in V \ (U' [mm]\cup[/mm] U'') liegen, infrage kommen.
(Vielleicht hast Du Dir aber etas dabei gedacht, was ich nicht sehe - das ist nie auszuschließen.)
Wenn Du jedenfalls hast, daß es solch einen Unterraum <v> gibt, der außer 0 keine gemeinsamen Elemente mit U' und U'' hat, dann weißt Du, daß
[mm]
Du hast dann dim(U'+U'')< dimV = dim U' + dim U''= dim (U' + U'') - dim (U' [mm] \cap [/mm] U'')=dim (U' + U''). Widerspruch!
> Folgt die Gleichung dim V = dim U´+dim U''
Was war denn U' und U''? Was hatten wir da festgestellt? Und um diese Feststellung überhaupt treffen zu können, ist die Endlichkeit der Dimension von V von großer Bedeutung! Denk da mal ein Weilchen scharf drüber nach...
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Mi 31.12.2008 | | Autor: | laurel |
Hallo!!!!
Ich hab mir folgendes überlegt (ich hoffe das ist richtig :/ )
Sei also v [mm] \in [/mm] V \ (U' [mm] \cup [/mm] U'') und [mm] \lambda \in [/mm] K
d.h v [mm] \not\in [/mm] ker [mm] f^k [/mm] und v [mm] \not\in [/mm] im [mm] f^k, [/mm] also [mm] f^k (\lambda [/mm] v) [mm] \not= [/mm] 0 und es existiert kein [mm] \lambda v_k, [/mm] das auf [mm] (\lambda [/mm] v) abgebildet werden kann also [mm] f^k( \lambda v_k )\not= \lambda [/mm] v, dann existiert noch ein Element aus V, für welches gilt:
[mm] f^k (\lambda v)=\lambda f^k(v)=(\lambda [/mm] w) und [mm] f^k (\lambda w)=\lambda f^k(w)=\lambda [/mm] v,
dann [mm] f^k(f^k(\lambda w))=\lambda f^k(f^k(w))=\lambda f^k(v)=\lambda [/mm] v,das aber heißt, dass v=w=0
(Kann ich solche Folgerung machen?)
=> U' [mm] \cap [/mm] U''= U' [mm] \cup [/mm] U''= U'+U''
=> dim (U' [mm] \cap [/mm] U'')= dim (U'+U'')
Danke dir schon viel mals für Geduld und Hilfe!!
Gruß und guten Rutsch!!!
|
|
|
| |
|
> Sei also v [mm]\in[/mm] V \ (U' [mm]\cup[/mm] U'') und [mm]\lambda \in[/mm] K
Es darf hier [mm] \lambda [/mm] nicht =0 sein.
> d.h v [mm]\not\in[/mm] ker [mm]f^k[/mm] und v [mm]\not\in[/mm] im [mm]f^k,[/mm] also [mm]f^k (\lambda[/mm]
> v) [mm]\not=[/mm] 0 und es existiert kein [mm] v_k [/mm] mit [mm]\lambda v_k,[/mm] das auf
> [mm](\lambda[/mm] v) abgebildet werden kann also [mm]f^k( \lambda v_k )\not= \lambda[/mm]
> v,
ja.
> dann
gilt also auch für [mm] \lambda [/mm] v [mm] \in [/mm] V:
was gilt denn? Du hast es doch oben stehen.
es gilt [mm] \lambda [/mm] v [mm] \not\in Kernf^k [/mm] und [mm] \lambda [/mm] v [mm] \not\in Imf^k.
[/mm]
Also ist jedes von 0 verschiedene Vielfache von v in V \ (U' [mm]\cup[/mm] U'').
> => U' [mm]\cap[/mm] U''= U' [mm]\cup[/mm] U''= U'+U''
> => dim (U' [mm]\cap[/mm] U'')= dim (U'+U'')
Das ist [mm] Unfug^3.
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:42 Do 01.01.2009 | | Autor: | laurel |
(Danke-danke)^1000!!!Das ist echt nett von dir, dass du mir geholfen hast!!!! du bist ein Super-mensch :)))
Gruß
|
|
|
|
