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Hallo zusammen
Ich habe eine Frage und zwar weiss ich, dass man 3 Vektoren im R3 mittels folgneder Gleichung überprüfen kann, ob sie untereinander linear abhängig sind oder nicht.
[mm] \lambda*\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Aber irgendwie wurde auch gesagt, es sei nicht wirklich zulässig das folgende zu machen und zu sagen, die drei seien linear abhängig oder nicht:
[mm] \lambda*\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \lambda*\vektor{x \\ y \\ z}
[/mm]
Irgendwie war die Begründung, dass es sein kann, dass sich die Vektoren untereinander als Linearkombination darstellen lassen, aber das nicht heissen muss, dass alle drei voneinander linear abhängig sind... oder so ähnlich.
Aber wenn ich die 2 Gleichungen anschaue, dann hat man ja nur einen Vektor auf die andere Seite genommen... also für mich ändert es nichts an der Bedeutung...
Ich hoffe, ihr wisst was ich meine...vielleicht kann mir ja jemand ein Beispiel dazu machen. Falls ihr nicht versteht, was ich meine, bitte nachfragen.
Vielen Dank.
Liebe Grüsse
Nicole
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Hallo Nicole1989,
> Hallo zusammen
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> Ich habe eine Frage und zwar weiss ich, dass man 3 Vektoren
> im R3 mittels folgneder Gleichung überprüfen kann, ob sie
> untereinander linear abhängig sind oder nicht.
>
> [mm]\lambda*\vektor{x \\
y \\
z}[/mm] + [mm]\lambda*\vektor{x \\
y \\
z}[/mm] + [mm]\lambda*\vektor{x \\
y \\
z}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\
0 \\
0}[/mm]
Hää?
Dreimal derselbe Vektor und dreimal derselbe Skalar?
Richtig:
[mm]\lambda\cdot{}\vektor{x_1\\
y_1\\
z_1}+\mu\cdot{}\vektor{x_2\\
y_2\\
z_2}+\nu\cdot{}\vektor{x_3\\
y_3\\
z_3}=\vektor{0\\
0\\
0}[/mm]
Damit prüfst du, ob die drei Vektoren [mm]\vektor{x_1\\
y_1\\
z_1}, \vektor{x_2\\
y_2\\
z_2}, \vektor{x_3\\
y_3\\
z_3}[/mm] linear unabhängig sind oder nicht.
Ergibt diese LK des Nullvektors nur die triviale Lösung [mm]\lambda=\mu=\nu=0[/mm], so sind die Vektoren linear unabh., ansonsten linear abhängig.
>
> Aber irgendwie wurde auch gesagt, es sei nicht wirklich
> zulässig das folgende zu machen und zu sagen, die drei
> seien linear abhängig oder nicht:
>
> [mm]\lambda*\vektor{x \\
y \\
z}[/mm] + [mm]\lambda*\vektor{x \\
y \\
z}[/mm] = [mm]\lambda*\vektor{x \\
y \\
z}[/mm]
Das ist sowieso nicht "zulässig", weil du schon oben die falsche LK angesetzt hast.
Und ob du nun [mm]\lambda\cdot{}\vektor{x_1\\
y_1\\
z_1}+\mu\cdot{}\vektor{x_2\\
y_2\\
z_2}+\nu\cdot{}\vektor{x_3\\
y_3\\
z_3}=\vektor{0\\
0\\
0}[/mm] oder
[mm]\lambda\cdot{}\vektor{x_1\\
y_1\\
z_1}+\mu\cdot{}\vektor{x_2\\
y_2\\
z_2}=\tilde\nu\cdot{}\vektor{x_3\\
y_3\\
z_3}[/mm]
prüfst, ist doch einerlei ...
Das ist doch nur äquivalent umgestellt, wobei das "neue" [mm]\tilde\nu[/mm] gerade dem "alten" [mm]-\nu[/mm] entspricht...
>
> Irgendwie war die Begründung, dass es sein kann, dass sich
> die Vektoren untereinander als Linearkombination darstellen
> lassen, aber das nicht heissen muss, dass alle drei
> voneinander linear abhängig sind... oder so ähnlich.
Das ist ja sehr vage ...
> Aber wenn ich die 2 Gleichungen anschaue, dann hat man ja
> nur einen Vektor auf die andere Seite genommen... also für
> mich ändert es nichts an der Bedeutung...
Eben! (mit der richtigen Ausgangs-LK)
>
> Ich hoffe, ihr wisst was ich meine...vielleicht kann mir ja
> jemand ein Beispiel dazu machen. Falls ihr nicht versteht,
> was ich meine, bitte nachfragen.
>
> Vielen Dank.
>
> Liebe Grüsse
>
> Nicole
>
>
Gruß
schachuzipus
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