Lineare Abhängigkeit Parameter < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Mi 02.04.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Welche Bedingungen müssen die Parameter a und b erfüllen, damit die Vektoren [mm] \vektor{a \\ 1 \\ 2} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ b \\ 1} [/mm] linear abhängig sind?
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Moin!
Ich habe die obige Aufgabe auf zwei verschiedene Weisen gelöst, komme aber leider nicht auf dasselbe Ergebnis (Parameter a)... Warum nicht?
1.1. Matrix
[mm] \pmat{ a & 1 & 1 & : 0\\ 1 & -1 & b & : 0 \\ 2 & 1 & 1 & : 0}
[/mm]
[mm] \pmat{ a & 1 & 1 & : 0\\ -2 & 2 & -2b & : 0 \\ 2 & 1 & 1 & : 0}
[/mm]
[mm] \pmat{ a & 1 & 1 & : 0\\ 1 & -1 & b & : 0 \\ 0 & 3 & 1-2b & : 0}
[/mm]
[mm] \pmat{ a & 1 & 1 & : 0\\ -a & a & -ab & : 0 \\ 0 & 3 & 1-2b & : 0}
[/mm]
[mm] \pmat{ a & 1 & 1 & : 0\\ 0 & 1+a & 1-ab & : 0 \\ 0 & 3 & 1-2b & : 0}
[/mm]
[mm] \pmat{ a & 1 & 1 & : 0\\ 0 & -3-3a & -3+3ab & : 0 \\ 0 & 3+3a & (1-2b)*(1+a) & : 0}
[/mm]
[mm] \pmat{ a & 1 & 1 & : 0\\ 0 & 1+a & 1-ab & : 0 \\ 0 & 0 & 1+a-2b-2ab-3+3ab & : 0}
[/mm]
[mm] \pmat{ a & 1 & 1 & : 0\\ 0 & 1+a & 1-ab & : 0 \\ 0 & 0 & -2+a-2b+ab & : 0}
[/mm]
=>
[mm] (-2+a-2b+ab)*r_3 [/mm] = 0
[mm] (1+a)*r_2 [/mm] + [mm] (1-ab)*r_3 [/mm] =0
[mm] a*r_1 [/mm] + [mm] r_2 [/mm] + [mm] r_3 [/mm] = 0
falls (-2+a-2b+ab) [mm] \ne [/mm] 0 ist, dann ist [mm] r_3 [/mm] = 0
ferner [mm] r_2 [/mm] = 0 und [mm] r_1 [/mm] = 0 -> in diesem Fall sind die Vektoren linear unabhängig
falls (-2+a+2b+ab) = 0 ist, dann ist [mm] r_3 [/mm] beliebig wählbar und die Vektoren linear abhängig.
dies ist der fall, wenn
-2+a +2b +ab = 0
-2 + 2b + a +ab = 0
-2 (1+b) + a*(1+b) = 0
(1+b) *[-2+a] = 0
b= -1 oder a= +2 ist.
1.2. Einsetzverfahren
[mm] a*r_1 [/mm] + [mm] r_2 [/mm] + [mm] r_3 [/mm] = 0 (1.)
[mm] r_1 [/mm] - [mm] r_2 [/mm] + [mm] b*r_3 [/mm] = 0 (2.)
[mm] 2*r_1 [/mm] + [mm] r_2 +r_3 [/mm] = 0 (3.)
3. Gleichung nach [mm] r_1 [/mm] auflösen:
[mm] r_1 [/mm] = - [mm] \bruch{r_2}{2} [/mm] - [mm] \bruch{r_3}{2}
[/mm]
[mm] r_1 [/mm] in 2. + 1. Gleichung einsetzen
- [mm] \bruch{r_2}{2} [/mm] - [mm] \bruch{r_3}{2} [/mm] - [mm] r_2 [/mm] + [mm] b*r_3 [/mm] = 0 (2.)
- [mm] \bruch{r_2}{2} [/mm] - [mm] r_2 [/mm] - [mm] \bruch{r_3}{2} [/mm] + [mm] b*r_3 [/mm] = 0
[mm] r_2*(- \bruch{1}{2} [/mm] - 1) + [mm] r_3*(- \bruch{1}{2} [/mm] + b) = 0 (2a.)
a*(- [mm] \bruch{r_2}{2} [/mm] - [mm] \bruch{r_3}{2}) [/mm] + [mm] r_2 [/mm] + [mm] r_3 [/mm] = 0 (1.)
- [mm] \bruch{a*r_2}{2} [/mm] + [mm] r_2 [/mm] - [mm] \bruch{a*r_3}{2} [/mm] + [mm] r_3 [/mm] = 0
[mm] r_2*(- \bruch{a}{2} [/mm] + 1) + [mm] r_3*(- \bruch{a}{2} [/mm] + 1) = 0 (1a.)
1a. Gleichung nach [mm] r_2 [/mm] auflösen
[mm] r_2*(- \bruch{a}{2} [/mm] + 1) = - [mm] r_3*(- \bruch{a}{2} [/mm] + 1) = 0
[mm] r_2 [/mm] = - [mm] r_3 [/mm]
[mm] r_2 [/mm] in 2a. einsetzen und [mm] r_3 [/mm] ausrechnen...
[mm] -r_3*(- \bruch{1}{2} [/mm] - 1) + [mm] r_3*(- \bruch{1}{2} [/mm] + b) = 0
[mm] r_3*(\bruch{3}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}+b) [/mm] = 0
[mm] r_3*(1+b) [/mm] = 0
für b= -1 linear abhängig
aber was ist mit a???
Gruß
Wolfgang
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Hallo hase-hh,
> Welche Bedingungen müssen die Parameter a und b erfüllen,
> damit die Vektoren [mm]\vektor{a \\ 1 \\ 2}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 1}[/mm]
> , [mm]\vektor{1 \\ b \\ 1}[/mm] linear abhängig sind?
>
>
> Moin!
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> Ich habe die obige Aufgabe auf zwei verschiedene Weisen
> gelöst, komme aber leider nicht auf dasselbe Ergebnis
> (Parameter a)... Warum nicht?
>
>
> 1.1. Matrix
>
> [mm]\pmat{ a & 1 & 1 & : 0\\ 1 & -1 & b & : 0 \\ 2 & 1 & 1 & : 0}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ a & 1 & 1 & : 0\\ -2 & 2 & -2b & : 0 \\ 2 & 1 & 1 & : 0}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ a & 1 & 1 & : 0\\ 1 & -1 & b & : 0 \\ 0 & 3 & 1-2b & : 0}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ a & 1 & 1 & : 0\\ -a & a & -ab & : 0 \\ 0 & 3 & 1-2b & : 0}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ a & 1 & 1 & : 0\\ 0 & 1+a & 1-ab & : 0 \\ 0 & 3 & 1-2b & : 0}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ a & 1 & 1 & : 0\\ 0 & -3-3a & -3+3ab & : 0 \\ 0 & 3+3a & (1-2b)*(1+a) & : 0}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ a & 1 & 1 & : 0\\ 0 & 1+a & 1-ab & : 0 \\ 0 & 0 & 1+a-2b-2ab-3+3ab & : 0}[/mm]
>
>
> [mm]\pmat{ a & 1 & 1 & : 0\\ 0 & 1+a & 1-ab & : 0 \\ 0 & 0 & -2+a-2b+ab & : 0}[/mm]
>
> =>
>
> [mm](-2+a-2b+ab)*r_3[/mm] = 0
>
> [mm](1+a)*r_2[/mm] + [mm](1-ab)*r_3[/mm] =0
>
> [mm]a*r_1[/mm] + [mm]r_2[/mm] + [mm]r_3[/mm] = 0
>
> falls (-2+a-2b+ab) [mm]\ne[/mm] 0 ist, dann ist [mm]r_3[/mm] = 0
> ferner [mm]r_2[/mm] = 0 und [mm]r_1[/mm] = 0 -> in diesem Fall sind die
> Vektoren linear unabhängig
>
> falls (-2+a+2b+ab) = 0 ist, dann ist [mm]r_3[/mm] beliebig wählbar
> und die Vektoren linear abhängig.
>
> dies ist der fall, wenn
>
> -2+a +2b +ab = 0
>
> -2 + 2b + a +ab = 0
>
> -2 (1+b) + a*(1+b) = 0
>
> (1+b) *[-2+a] = 0
>
> b= -1 oder a= +2 ist.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> 1.2. Einsetzverfahren
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>
> [mm]a*r_1[/mm] + [mm]r_2[/mm] + [mm]r_3[/mm] = 0 (1.)
>
> [mm]r_1[/mm] - [mm]r_2[/mm] + [mm]b*r_3[/mm] = 0 (2.)
>
> [mm]2*r_1[/mm] + [mm]r_2 +r_3[/mm] = 0 (3.)
>
>
> 3. Gleichung nach [mm]r_1[/mm] auflösen:
>
> [mm]r_1[/mm] = - [mm]\bruch{r_2}{2}[/mm] - [mm]\bruch{r_3}{2}[/mm]
>
>
> [mm]r_1[/mm] in 2. + 1. Gleichung einsetzen
>
> - [mm]\bruch{r_2}{2}[/mm] - [mm]\bruch{r_3}{2}[/mm] - [mm]r_2[/mm] + [mm]b*r_3[/mm] = 0
> (2.)
>
> - [mm]\bruch{r_2}{2}[/mm] - [mm]r_2[/mm] - [mm]\bruch{r_3}{2}[/mm] + [mm]b*r_3[/mm] = 0
>
> [mm]r_2*(- \bruch{1}{2}[/mm] - 1) + [mm]r_3*(- \bruch{1}{2}[/mm] + b) = 0
> (2a.)
>
>
> a*(- [mm]\bruch{r_2}{2}[/mm] - [mm]\bruch{r_3}{2})[/mm] + [mm]r_2[/mm] + [mm]r_3[/mm] = 0
> (1.)
>
> - [mm]\bruch{a*r_2}{2}[/mm] + [mm]r_2[/mm] - [mm]\bruch{a*r_3}{2}[/mm] + [mm]r_3[/mm] = 0
>
> [mm]r_2*(- \bruch{a}{2}[/mm] + 1) + [mm]r_3*(- \bruch{a}{2}[/mm] + 1) = 0
> (1a.)
>
>
> 1a. Gleichung nach [mm]r_2[/mm] auflösen
>
> [mm]r_2*(- \bruch{a}{2}[/mm] + 1) = - [mm]r_3*(- \bruch{a}{2}[/mm] + 1) = 0
>
>
> [mm]r_2[/mm] = - [mm]r_3[/mm]
>
Das geht nur wenn [mm]-\bruch{a}{2}+1 \not= 0 \gdw a \not= 2[/mm]
Für [mm]a=2[/mm] steht da: [mm]0*r_{2}+0*r_{3}=0[/mm]
Aus dieser Gleichung folgen dann, unendliche viele Lösungen für [mm]r_{2}, \ r_{3}[/mm]
>
> [mm]r_2[/mm] in 2a. einsetzen und [mm]r_3[/mm] ausrechnen...
>
> [mm]-r_3*(- \bruch{1}{2}[/mm] - 1) + [mm]r_3*(- \bruch{1}{2}[/mm] + b) = 0
>
> [mm]r_3*(\bruch{3}{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}+b)[/mm] = 0
>
> [mm]r_3*(1+b)[/mm] = 0
>
> für b= -1 linear abhängig
>
> aber was ist mit a???
Siehe Gleichung 1a). Daraus erhältst Du die Bedingung für a.
>
> Gruß
> Wolfgang
>
Gruß
MathePower
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> Welche Bedingungen müssen die Parameter a und b erfüllen,
> damit die Vektoren [mm]\vektor{a \\ 1 \\ 2}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 1}[/mm]
> , [mm]\vektor{1 \\ b \\ 1}[/mm] linear abhängig sind?
Hallo,
mit weniger Mühe kommst Du zum Ziel, wenn Du weißt, daß bei linearer Abhängigkeit der Spalten die Determinante von [mm] \pmat{ a & 1 & 1 \\ 1 & -1 & b \\ 2 & 1 & 1 } [/mm] Null wird.
Gruß v. Angela
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