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| Aufgabe | Wie kann die reelle Zahl a gewählt werden, damit die Vektoren inear abhängig sind?
1) [mm] \vektor{4 \\ 4 \\ 8}, \vektor{-3 \\ -3 \\ a}, \vektor{a \\ a \\ -12}
[/mm]
2) [mm] \vektor{a^{2} \\ a{2} \\ a}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{27 \\ 9 \\ a^{5}} [/mm] |
Hallo MatheForum!
Komme gerade nicht weiter! Ich habe nie verstanden, wie solche Aufgabentypen zu lösen sind.
Bei 1) habe ich es versucht, bei 2) weiß ich gar nicht weiter.
Ich würde mich riesig freuen, wenn mir jemand weiterhelfen und mir erklären könnte, wie so etwas zu lösen ist.
Hier jedenfalls meine Überelgungen/Rechnung zu 1.):
Lineare Abhängigkeit besteht dann, wenn die Vektoren Vielfaches voneinander sind, d.h. minds. ein Vektor durch die beiden anderen dargestellt werden kann.
In einem LGS erhält man dann unendlich viele Lösungen.
Ich habe also ein LGS notiert:
4r - 3s + at = 0 (I)
4r - 3s + at = 0 (II)
8r + as - 12t = 0 (III)
----
(III)-2*(II) liefert:
(a+6)s + (-12-6a)t = 0
Damit die Gleichung null ergibt, muss a = -6 sein.
Stimmen meine Überlegungen? Ist das Ergebnis richtig?
------
Bei 2) habe ich – wie schon gesagt – gar keinen Schimmer.
Das aufgestellte LGS sieht folgendermaßen aus:
[mm] a^{3}r [/mm] + s + 27t = 0 (I)
[mm] a^{2}r [/mm] + s + 9t = 0 (II)
ar + s + [mm] a^{5}t [/mm] = 0 (III)
Ich habe daraufhin (I)-(III) gerechnet:
[mm] (a^{3}-a)r [/mm] + [mm] (27-a^{5})t [/mm] = 0 (IV)
sowie (II)-(III):
[mm] (a^{2}-a)r [/mm] + [mm] (9-a^{5})t [/mm] = 0 (V)
… in der Hoffnung, dass mir das rgendetwas bringt. Aber ein Rückschluß wie in 1) ist hier nicht möglich. Und ich weiß nicht, wie ich jetzt weiter rechnen soll.
Kann mir jemand helfen?
Gibt es eine Art "Musterlösung" für diese Aufgabentypen?
Bedanke mich schon im Voraus für die Hilfe!
LG Eli
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> Wie kann die reelle Zahl a gewählt werden, damit die
> Vektoren inear abhängig sind?
> 1) [mm]\vektor{4 \\ 4 \\ 8}, \vektor{-3 \\ -3 \\ a}, \vektor{a \\ a \\ -12}[/mm]
>
> 2) [mm]\vektor{a^{2} \\ a{2} \\ a}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{27 \\ 9 \\ a^{5}}[/mm]
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> Hallo MatheForum!
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> Komme gerade nicht weiter! Ich habe nie verstanden, wie
> solche Aufgabentypen zu lösen sind.
> Bei 1) habe ich es versucht, bei 2) weiß ich gar nicht
> weiter.
Du hast es nicht verstanden, bist aber in der Lage eine fast richtige Lösung zu entwickeln. Na da stimmt doch was nicht.
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> Ich würde mich riesig freuen, wenn mir jemand weiterhelfen
> und mir erklären könnte, wie so etwas zu lösen ist.
Ich werds probieren
>
> Hier jedenfalls meine Überelgungen/Rechnung zu 1.):
> Lineare Abhängigkeit besteht dann, wenn die Vektoren
> Vielfaches voneinander sind, d.h. minds. ein Vektor durch
> die beiden anderen dargestellt werden kann.
> In einem LGS erhält man dann unendlich viele Lösungen.
>
> Ich habe also ein LGS notiert:
>
> 4r - 3s + at = 0 (I)
> 4r - 3s + at = 0 (II)
> 8r + as - 12t = 0 (III)
> ----
>
> (III)-2*(II) liefert:
>
> (a+6)s + (-12-6a)t = 0
>
> Damit die Gleichung null ergibt, muss a = -6 sein.
>
> Stimmen meine Überlegungen? Ist das Ergebnis richtig?
Die Überlegungen stimmen, das Ergebnis auch, aber deine Gleichung nicht. Es müsste lauten: [mm] s\cdot(-6-a)+t\cdot [/mm] (2aa+12)=0.
Dass das richtig ist, siehst du schnell, wenn du -6 an die Stelle von a in deine Vektoren einsetzt. Denn dann ist jeder einzelne Vektor ein Vielfaches von [mm] \vektor{1\\1\\2} [/mm] ist und damit ist klar, dass alle drei linear abhängig sind.
> tBei 2) habie gich – wie schon gesagt – gar keinen
> Schimmer.
>
> Das aufgestellte LGS sieht folgendermaßen aus:
> [mm]a^{3}r[/mm] + s + 27t = 0 (I)
> [mm]a^{2}r[/mm] + s + 9t = 0 (II)
> ar + s + [mm]a^{5}t[/mm] = 0 (III)
>
Was sind jetzt genau deine Vektoren für den zweiten Teil? Der Aufgabentext stimmt nicht mit deinem Gleichungssystem überein.
Trotzdem schonmal einige Tipps, die du mal ausprobieren kannst.
Du kannst auch einen Vektor als Linearkombination der anderen beiden darstellen (hier wahrscheinlich am besten [mm] \vektor{1\\1\\1}.
[/mm]
Ansonsten kommt man manchmal mit der Determinante weiter. Kennst du die schon? Kennst du dich etwas mit Matrizen aus?
> Ich habe daraufhin (I)-(III) gerechnet:
> [mm](a^{3}-a)r[/mm] + [mm](27-a^{5})t[/mm] = 0 (IV)
>
> sowie (II)-(III):
> [mm](a^{2}-a)r[/mm] + [mm](9-a^{5})t[/mm] = 0 (V)
>
> … in der Hoffnung, dass mir das rgendetwas bringt. Aber
> ein Rückschluß wie in 1) ist hier nicht möglich. Und ich
> weiß nicht, wie ich jetzt weiter rechnen soll.
>
> Kann mir jemand helfen?
> Gibt es eine Art "Musterlösung" für diese
> Aufgabentypen?
Musterlösung? Naja nicht wirklich. Es läuft irgendwie immer darauf hinaus, dass du ein Gleichungssystem lösen musst.
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> Bedanke mich schon im Voraus für die Hilfe!
>
> LG Eli
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Naja, man kann das Vorgehen schon als "Musterlösung" bezeichnen, je nachdem, was man darunter versteht. Aber die Überprüfung auf lineare (Un-)Abhängigkeit funktioniert nach einem simplen Kochrezept, das in den ersten Versuchen auch schon angefangen ist, aber leider nicht zuende gebracht wird.
1. Schritt: Gleichungssystem aufstellen (![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , wenn du aufpasst, dass deine Gleichungen zu deinen Vektoren passen).
2. Schritt: Gleichungssystem lösen (die Variablen sind r, s und t): ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") , denn du hörst hier mittendrin auf.
Beispiel:
r+s+t=0
2r+s+3t=0
3r+s+2t=0
Jetzt subtrahierst du die I jeweils von der II und III und bekommst (so wie du es schreibst):
r+2t=0
2r+t=0
Und jetzt hörst du auf zu rechnen, dabei bist du mit deinen Umformungen noch garnicht am Ende. Dass bei dir (für dich vermutlich leider) statt "nur" Zahlen noch der Buchstabe "a" auftaucht, ändert nichts daran, dass du das erstmal bis zum Ende lösen musst.
Du weißt auch bestimmt, wie man das hinbekommt (Gleichungen so multiplizieren, dass die "Zahlen" (auch die mit den "a" drin) vor einer der Variablen gleich/gegengleich sind, dann subtrahieren bzw. addieren, und das so lange, bis du eine Gleichung bekommst, in der nur noch eine Variable auftaucht).
3. Schritt: Die Analyse deines umgeformten Gleichungssystems (teilweise ): Dazu schaust du auf die Definition der linearen Unabhängigkeit (Vektoren sind l.u. [mm] \gdw [/mm] .... und das bedeutet für die Lösung des Gleichungssystems, dass ....)
Jetzt überprüfst du also noch, welche Werte du für a einsetzen musst, damit die Bedingungen erfüllt sind. Das machst du ja im Prinzip schon, nur leider zu früh.
Das wäre mein Kochrezept - und du benutzt es auch fast schon, nur nicht konsequent genug  .
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