Lineare Abhängigkeit < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Mo 09.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe 1 | prüfen Sie,ob der Vektor [mm] \vec{x} [/mm] als Linearkombination der übrigen gegebenen Vektoren darstellbar ist.
[mm] \vec{x}=\vektor{6 \\ -3 \\ 1}, \vec{a}=\vektor{1 \\ -1 \\ 0}, \vec{b}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}, \vec{c}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vec{d}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] |
| Aufgabe 2 | Untersuchen Sie,ob die gegebenen vier Punkte A,B,C,D in einer Ebene liegen.Fertigen Sie ein Schrägbild an.
A(3/1/2), B(6/2/2), C(5/9/4), D(1/4/3)
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| Aufgabe 3 | Untersuchen Sie,ob die Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind.
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ -1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{4 \\ 0 \\ -3 \\ 0} [/mm] |
Hallo zusammen^^
Zu diesen Aufgaben hab ich ein paar allgemeine Fragen.
Dabei geht es mir nicht darum,die Aufgaben komplett uaszurechnen,sondern ich will wissen,ob ich die Vorgehensweise richtig verstanden habe.
1.Aufgabe: Man muss hier doch folgendes berechnen:
[mm] \vec{x}=\vektor{6 \\ -3 \\ 1}=r*\vektor{1 \\ -1 \\ 0}+s*\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+t*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+u*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}.
[/mm]
Dann hab ich aber 3 Gleichungen mit 4 unbekannte,das kann man nicht lösen.Heißt das,dass der Vektor [mm] \vec{x} [/mm] nicht als Linearkombination darstellbar ist?
2.Aufgabe: Muss man hier einfach dei Verbindungsvektoren ausrechnen und dann genauso wie in Aufgabe 1 verfahren?Hier ist aber auch das Problem,dass ich nur 3 Gleichungen und 4 Unbekannte hab?
Kann man eigentlich beliebig viele Vektoren auf lineare Abhängigkeit überprüfen?Wir hatten das nämlich bis jetzt nur mit 2 oder 3 Vektoren gemacht.Wenn ich z.B. 6 Vektoren hab und schauen soll ob die linear abhängig sind,kann ich dann alle sechs mit jeweils einem Parameter davor dem Nullvektor gleichsetzen?
3.Aufgabe: Das ist im Prinzip das gleiche wie Aufgabe 2.
Kann ich hier auch einfach schreiben:
[mm] r*\vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ -1}+s*\vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1}+t*\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}+u*\vektor{4 \\ 0 \\ -3 \\ 0}=\vec{0}?
[/mm]
Und dann einfach das Gleichungssytem lösen?
Vielen Dank
lg
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> prüfen Sie,ob der Vektor [mm]\vec{x}[/mm] als Linearkombination der
> übrigen gegebenen Vektoren darstellbar ist.
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> [mm]\vec{x}=\vektor{6 \\ -3 \\ 1}, \vec{a}=\vektor{1 \\ -1 \\ 0}, \vec{b}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}, \vec{c}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vec{d}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
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> Untersuchen Sie,ob die gegebenen vier Punkte A,B,C,D in
> einer Ebene liegen.Fertigen Sie ein Schrägbild an.
>
> A(3/1/2), B(6/2/2), C(5/9/4), D(1/4/3)
>
> Untersuchen Sie,ob die Vektoren linear abhängig oder linear
> unabhängig sind.
>
> [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ -1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{4 \\ 0 \\ -3 \\ 0}[/mm]
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> Hallo zusammen^^
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> Zu diesen Aufgaben hab ich ein paar allgemeine Fragen.
> Dabei geht es mir nicht darum,die Aufgaben komplett
> uaszurechnen,sondern ich will wissen,ob ich die
> Vorgehensweise richtig verstanden habe.
>
> 1.Aufgabe: Man muss hier doch folgendes berechnen:
>
> [mm]\vec{x}=\vektor{6 \\ -3 \\ 1}=r*\vektor{1 \\ -1 \\ 0}+s*\vektor{1 \\ 0 \\ 1}+t*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+u*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}.[/mm]
>
> Dann hab ich aber 3 Gleichungen mit 4 unbekannte,das kann
> man nicht lösen.Heißt das,dass der Vektor [mm]\vec{x}[/mm] nicht als
> Linearkombination darstellbar ist?
Hallo,
es kann zwar bei solchen Gleichungssystemen passieren, daß sie nicht lösbar sind, das erkennst Du ggf. daran, daß Du irgendwann sowas wie 0=5 dastehen hast.
Wenn diese nicht der Fall ist, dann haben Gleichungssysteme mit mehr Unbekannten als Variablen sogar sehr viele Lösungen.
Du hast dann am Ende mit etwas Geschick sowas dastehen (ausgedachte Lösung!):
r= 5u +7
s= -12u
t= 13
0=0
Das bedeutet: für jedes beliebige u ergibt die entsprechende Kombination aus r,s,t eine Lösung.
Da für Deine Aufgabenstellung nur eine Lösung gefordert ist, kannst Du einfach irgendein u einsetzen.
> 2.Aufgabe: Muss man hier einfach dei Verbindungsvektoren
> ausrechnen und dann genauso wie in Aufgabe 1 verfahren?Hier
> ist aber auch das Problem,dass ich nur 3 Gleichungen und 4
> Unbekannte hab?
Hier würde ich die Ebenengleichung aus drei Punkten aufstellen und den 4. Punkt damit gleichsetzten.
Hier hast Du dann 3 Gleichungen mit nur zwei Unbekannten. ist das System lösbar, liegen alle 4 Punkte in einer Ebene.
> Kann man eigentlich beliebig viele Vektoren auf lineare
> Abhängigkeit überprüfen?Wir hatten das nämlich bis jetzt
> nur mit 2 oder 3 Vektoren gemacht.Wenn ich z.B. 6 Vektoren
> hab und schauen soll ob die linear abhängig sind,kann ich
> dann alle sechs mit jeweils einem Parameter davor dem
> Nullvektor gleichsetzen?
Ja.
>
> 3.Aufgabe: Das ist im Prinzip das gleiche wie Aufgabe 2.
> Kann ich hier auch einfach schreiben:
>
> [mm]r*\vektor{1 \\ 2 \\ 0 \\ -1}+s*\vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1}+t*\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}+u*\vektor{4 \\ 0 \\ -3 \\ 0}=\vec{0}?[/mm]
>
> Und dann einfach das Gleichungssytem lösen?
Ja.
Gruß v. Angela
>
> Vielen Dank
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Mo 09.03.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Vielen Dank Angela
> > 2.Aufgabe: Muss man hier einfach dei Verbindungsvektoren
> > ausrechnen und dann genauso wie in Aufgabe 1 verfahren?Hier
> > ist aber auch das Problem,dass ich nur 3 Gleichungen und 4
> > Unbekannte hab?
>
>
> Hier würde ich die Ebenengleichung aus drei Punkten
> aufstellen und den 4. Punkt damit gleichsetzten.
> Hier hast Du dann 3 Gleichungen mit nur zwei Unbekannten.
> ist das System lösbar, liegen alle 4 Punkte in einer
> Ebene.
>
Ok,das könnte man machen,aber ich muss hier davon ausgehen,dass ich noch keine Ebenengleichung aufstellen kann,da diese Aufgabe da dran kommt wo wir keine Ebenen hatten.Wie könnte man das denn sonst lösen?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 Mo 09.03.2009 | | Autor: | glie |
> Vielen Dank Angela
> > > 2.Aufgabe: Muss man hier einfach dei
> Verbindungsvektoren
> > > ausrechnen und dann genauso wie in Aufgabe 1 verfahren?Hier
> > > ist aber auch das Problem,dass ich nur 3 Gleichungen und 4
> > > Unbekannte hab?
> >
> >
> > Hier würde ich die Ebenengleichung aus drei Punkten
> > aufstellen und den 4. Punkt damit gleichsetzten.
> > Hier hast Du dann 3 Gleichungen mit nur zwei Unbekannten.
> > ist das System lösbar, liegen alle 4 Punkte in einer
> > Ebene.
> >
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> Ok,das könnte man machen,aber ich muss hier davon
> ausgehen,dass ich noch keine Ebenengleichung aufstellen
> kann,da diese Aufgabe da dran kommt wo wir keine Ebenen
> hatten.Wie könnte man das denn sonst lösen?
>
> lg
Hallo Mandy,
Stell einfach von einem Punkt ausgehend, die drei Verbindungsvektoren auf und prüfe diese drei Vektoren auf lineare Unabhängigkeit.
Wenn die drei Vektoren linear unabhängig sind, dann sind die vier Punkte nicht komplanar.
Gruß Glie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Mo 09.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ergaenzung zu Aufgabe 1. du kannst hier leicht zeigen, dass 3 der gegebenen Vektoren lin unabh. sind. Folge: man kann jeden Vektor aus [mm] R^3 [/mm] damit erzeugen.
2. 3Punkte, und damit 2 Differenzvektoren liegen immer in einer Ebene. Also etwa [mm] \vec{AB} [/mm] und [mm] \vec{AC} [/mm] ein dritter muss dan davon lin abh. sein, damit der vierte pkt in der eben liegt. Welchen du da aussuchst AD oder BD oder CD ist egal.
oder aehnlich ner Ebenengl. A+AB+BD=D Wenn du das Schraegbild hast siehst du das auch
Gruss leduart
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