Lineare Abhängigkeit < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Di 26.02.2008 | | Autor: | inuma |
| Aufgabe | Bestimmen Sie diejenigen Werte des Parameters a für den die Vektoren linear abhängig sind.
a) [mm] \vektor{1 \\ 0 \\0} \vektor{2 \\ a \\0}
[/mm]
b) [mm] \vektor{1 \\ 1 \\a} \vektor{1 \\ a \\-1} \vektor{2a \\ 2 \\-1}
[/mm]
C [mm] \vektor{0 \\ 1 \\0} \vektor{0 \\ 1 \\a} \vektor{a^{2} \\ 0 \\1}
[/mm]
d [mm] \vektor{a \\ 1 \\a+1} \vektor{a \\ 2 \\a+2} \vektor{a \\ 3 \\a+3} [/mm] |
Also gut.
Für a ist es ja noch einfach.
a=0, weil dann die beiden Vektoren kollinear sind und somit linear abhängig, doch was ist mit den anderen???
erbitte um hilfe
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:08 Di 26.02.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich will dir eine mögliche Vorgehensweise einmal anhand der (c) erläutern.
Seien [mm] v_1=\vektor{0 \\ 1 \\0}, v_2=\vektor{0 \\ 1 \\a} [/mm] und [mm] v_3=\vektor{a^{2} \\ 0 \\1}
[/mm]
Du kannst die Vektoren in eine Matrix [mm] A=(v_1,v_2,v_3) [/mm] schreiben.
[mm] A=\pmat{ 0 & 0 & a^2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & a & 1}
[/mm]
Wenn die Vektoren linear unabhängig sein sollen, muss gelten: [mm] Rang(A)=3\gdw{det(A)\not=0}.
[/mm]
Wenn die Vektoren jedoch - wie in deinem Fall - linear abhängig sein sollen, muss gelten: [mm] Rang(A)<3\gdw{det(A)=0}.
[/mm]
Also musst du berechnen, für welche a gilt det(A)=0.
Du kannst nach Sarrus oder LaPlace-Entwicklung die Determinante berechnen.
[mm] det(A)=a^2*\vmat{ 1 & 1 \\ 0 & a }=a^2*(1*a-0*a)=a^2*a=a^3
[/mm]
Es soll gelten: det(A)=0; das ist der Fall, wenn [mm] a^3=0\gdw{a=0}
[/mm]
Für a=0 sind die Vektoren $ [mm] v_1=\vektor{0 \\ 1 \\0}, v_2=\vektor{0 \\ 1 \\a} [/mm] $ und $ [mm] v_3=\vektor{a^{2} \\ 0 \\1} [/mm] $ linear abhängig.
So kannst du bei (b) und (d) auch vorgehen.
MfG barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Di 26.02.2008 | | Autor: | inuma |
Gut. So kann man es machen.
Jedoch übersteigt die meine Kenntniss über diese Methoden zu gehen.
Im Moment ist meine erlaubtre Vorgehensweise nur das Lösungsverfahren nach Gaus.
z.b. b
r +s+ +2at =0
r +sa +2t =0
ar -s -t=0
Hättest du für so eien fall auch eien Lösung
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Di 26.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
schreib die Koeffizienten doch in eine Matrix und lass Gauß drauf los, also Zeilenstufenform. Dann noch ein paar Fallunterscheidungen für a machen (z.B: wenn du mit a multiplizierst, darf a nicht 0 sein, das musst du dann hinterher wieder prüfen etc).
Wenn lin. abhängig, dann muss es ja auch eine andere Lösnug als die trivale Lösung für das LGS geben, d.h. es muss noch eine andere Lösung geben als (0;0;0). Das heißt, die letzte Zeile muss eine Nullzeile sein. Dann kannst du dir die letzte Zeile hernehmen, und den Eintrag unten rechts dann betrachten ,wann dieser gleich Null wird.
Das ist dann die Vorgehensweise mit Gauß.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Di 26.02.2008 | | Autor: | inuma |
Ebend hatte ich ein paar ideen.
zu (ist am einfachsten)
c)
a=0, weil dann v1 und v2 kollinear sind und so es auch liear ab hänig sein muss
B)
I r+s=2a
II r+sa=2
III ra-s=-1
I-II 0r+s-sa=2a-2
s+2=2a+sa
s+2=(2+s)a | :(2+s)
1=a
Nach dem überprüfen kann es stimmen
d)
I ra + sa = a
II r + 2s = 3
III ar+r +as+2s = a+3
I-aII -sa =-2a |:-a
s = 2
d.f r = -1 (gleichung II)
diese erkenntnisse in III
-a-1 +2a+4 = a+3
a+3 = a+3
d.f. alle a sind möglich
danke für eure hilfe
viel Spaß paul
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Di 26.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
a) stimmt
b) stimmt
c) Naja, 0 könnte nicht die Einzige Lösung sein. Aber a=0 ist die einzige Lösung.
d) stimmt auch
Gratulation =)
LG
Kroni
|
|
|
|
