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| Aufgabe | Es seien f: V [mm] \to [/mm] W und g: W [mm] \to [/mm] Z lineare Abbildungen von K-Vektorräumen und [mm] \lambda \in [/mm] K. Man zeige:
1. [mm] id_v [/mm] ist linear;
2. g [mm] \circ [/mm] f ist linear;
3. Ist f= [mm] \lambda_1f_1 [/mm] + [mm] \lambda_2f_2, [/mm] so gilt g [mm] \circ f=\lambda_1g \circ f_1 [/mm] + [mm] \lambda_2g \circ f_2;
[/mm]
4. Ist g= [mm] \lambda_1g_1 [/mm] + [mm] \lambda_2g_2, [/mm] so ist g [mm] \circ f=\lambda_1g_1 \circ [/mm] f + [mm] \lambda_2g_2 \circ [/mm] f;
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Hallo,
folgende Überlegungen habe ich mir zum Verständnis der Aufgabenstellung gemacht.
Bitte korrigiert mich ggf:
Zu 1.)+ zu 3.) + zu 4.) Ist hier davon auszugehen, dass hier ein Automorphismus vorliegt. Also:
V=W und W=Z und f und g sind bijektiv?
Zu 2.) Wenn diese zwei Abbildungen linear sind, dann ist doch auch jede Komposition linear, oder nicht?
Ist das ein richtiger Ansatz?
Zu zeigen: f [mm] \circ [/mm] g: V [mm] \to [/mm] Z ist linear.
Für v, v' [mm] \in [/mm] V ist
[mm] (f\circ [/mm] g)(v+v')= f(g(v+v'))=f(g(v)+g(v'))
=f(g(v))+f(g(v'))
=(f [mm] \circ [/mm] g)(v)+(f [mm] \circ [/mm] g)(v')
Vielen Dank für Eure Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:45 Do 12.11.2009 | | Autor: | jales |
Keine Antwort, nur eine Mitteilung ...
Ich bin davon ausgeangen, dass für [mm] id_{V} [/mm] ja gelten müsste : [mm] id_{V} [/mm] : V [mm] \to [/mm] V und [mm] id_{V}(x) [/mm] = x.
Und dann eben geschaut, ob auch f(a + b) = f(a) + f(b) bzw. [mm] f(\lambda [/mm] a) = [mm] \lambda [/mm] f(a) gilt.
Hoffe, dass das nicht totaler Schwachsinn war und dir etwas helfen konnte ... ;)
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> Es seien f: V [mm]\to[/mm] W und g: W [mm]\to[/mm] Z lineare Abbildungen von
> K-Vektorräumen und [mm]\lambda \in[/mm] K. Man zeige:
>
> 1. [mm]id_v[/mm] ist linear;
> 2. g [mm]\circ[/mm] f ist linear;
> 3. Ist f= [mm]\lambda_1f_1[/mm] + [mm]\lambda_2f_2,[/mm] so gilt g [mm]\circ f=\lambda_1g \circ f_1[/mm]
> + [mm]\lambda_2g \circ f_2;[/mm]
> 4. Ist g= [mm]\lambda_1g_1[/mm] +
> [mm]\lambda_2g_2,[/mm] so ist g [mm]\circ f=\lambda_1g_1 \circ[/mm] f +
> [mm]\lambda_2g_2 \circ[/mm] f;
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> Hallo,
>
> folgende Überlegungen habe ich mir zum Verständnis der
> Aufgabenstellung gemacht.
>
> Bitte korrigiert mich ggf:
>
> Zu 1.)+ zu 3.) + zu 4.) Ist hier davon auszugehen, dass
> hier ein Automorphismus vorliegt. Also:
>
> V=W und W=Z und f und g sind bijektiv?
Halllo,
nein.
Wenn man davon ausgehen sollte, stünde das dort.
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> Zu 2.) Wenn diese zwei Abbildungen linear sind, dann ist
> doch auch jede Komposition linear, oder nicht?
>
> Ist das ein richtiger Ansatz?
>
> Zu zeigen: f [mm]\circ[/mm] g: V [mm]\to[/mm] Z ist linear.
>
> Für v, v' [mm]\in[/mm] V ist
>
> [mm](f\circ[/mm] g)(v+v')= f(g(v+v'))=f(g(v)+g(v'))
> =f(g(v))+f(g(v'))
> =(f [mm]\circ[/mm] g)(v)+(f [mm]\circ[/mm] g)(v')
Ja. Jetzt noch die zweite Linearitätsbedingung
Gruß v. Angela
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> Vielen Dank für Eure Hilfe.
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