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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Di 08.01.2008 | | Autor: | Lukas_G |
| Aufgabe | [mm] K=\IR [/mm] ; f: [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR^3,
[/mm]
[mm] \vektor{x \\ y} [/mm] -> [mm] \vektor{x+y \\ x \\ \alpha } [/mm] |
Hallo!
Ich soll zeigen ob das eine lineare Abbildung ist. Dazu hab ich ja die Formel [mm] \Phi(\lambda [/mm] u+ [mm] \mu [/mm] v) = [mm] \lambda \Phi(u)+ \mu \Phi(v).
[/mm]
Das hab ich jetzt mal angewendet und komme auf folgendes:
[mm] \Phi \vektor{\lambda x+ \mu y \\ \lambda x \\ \lambda\alpha }
[/mm]
stimmt das so? und wie muss ich weitermachen????
Danke für eure Hilfe...
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Hallo,
erstmal würde ich vermuten, dass [mm]\alpha[/mm] eine beliebige reelle Zahl sein soll?
Dann zu deiner Frage: Das [mm]f[/mm] ist bereits das von dir erwähnte [mm]\Phi[/mm]! Wenn du also zwei beliebige Vektoren [mm]u,v \in \IR[/mm] hernimmst, musst du überprüfen, ob [mm]f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v)[/mm] für das von dir oben aufgeschriebene [mm]f[/mm] gilt! Das sollte dann nicht mehr so schwer sein!
Gruß, MetalChuck
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:34 Di 08.01.2008 | | Autor: | Lukas_G |
ja du hast recht mit dem [mm] \alpha [/mm] . Kann ich das so schreiben?
[mm] \phi\vektor{\lambda x + \mu y \\ \lambda x\\ \alpha}
[/mm]
kann ich das was in der klammer steht als Summe der einzelenen Elemente schreiben?? also so:
[mm] \lambda [/mm] x + [mm] \lambda [/mm] x + [mm] \mu [/mm] y + [mm] \alpha
[/mm]
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> [mm]K=\IR[/mm] ; f: [mm]\IR^2[/mm] -> [mm]\IR^3,[/mm]
>
> [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] -> [mm]\vektor{x+y \\ x \\ \alpha }[/mm]
> Hallo!
>
> Ich soll zeigen ob das eine lineare Abbildung ist. Dazu
> hab ich ja die Formel [mm]\Phi(\lambda[/mm] u+ [mm]\mu[/mm] v) = [mm]\lambda \Phi(u)+ \mu \Phi(v).[/mm]
>
> Das hab ich jetzt mal angewendet
Hallo,
was Du brauchst, um die Linearität einer Abbildung zu zeigen, ist nicht "eine Formel", sondern Du benötigst die Definition einer Linearen Abbildung.
Allein mit
> [mm]\Phi(\lambda[/mm] u+ [mm]\mu[/mm] v) = [mm][mm] \lambda \Phi(u)+ \mu \Phi(v)
[/mm]
kann kein Mensch etwas anfangen, denn die ganzen Zeichen sind ja nicht erklärt - und daß Du nicht weißt, was sie bedeuten, sieht man an dem , was Du tust.
Die Moral von der Geschicht: Du mußt solche Definitionen vollständig anschauen, und erst dann auf irgendwelche Aufgaben anwenden.
Was ist nun Sache?
Es seien V,W Vektorräume über K,
und es sei [mm] \Phi [/mm] eine Abbildung zwischen diesen Vektorräumen, also
[mm] \Phi:V\to [/mm] W.
Die Abbildung [mm] \Phi [/mm] heißt linear, wenn folgendes gilt:
Wenn u,v aus dem Vektorraum V sind, und wenn [mm] \lambda, \mu [/mm] aus dem Körper K sind,
also [mm] u,v\in [/mm] V und [mm] \lambda, \mu \in [/mm] K,
dann gilt [mm] \Phi(\lambda [/mm] u + [mm] \mu v)=\lambda\Phi(u)+ \mu\Phi(v).
[/mm]
(Alternativ kannst Du zeigen [mm] \Phi(u+v)=\Phi(u)+\Phi(v) [/mm] und [mm] \phi(\lambda u)=\lambda\Phi(u).
[/mm]
Das ist normalerweise einfacher und übersichtlicher, wenn es um konkrete rechnungen geht.)
So, nun wissen wir schonmal die Definition.
Welches ist die Funktion, die Du prüfen mußt?
Es ist die Funktion f: [mm] \IR^2\to \IR^3, [/mm] welche aus dem [mm] \IR-VR \IR^2 [/mm] in den [mm] \IR-VR \IR^3 [/mm] abbildet.
Nun mußt Du zeigen (2.Variante):
Für alle u,v [mm] \in \IR^2 [/mm] und für alle [mm] \lambda \in \IR [/mm] gilt
i) f(u+v)=f(u)+f(v)
ii) [mm] f(\lambda u)=\lambda [/mm] u.
---
Nun solltest Du nicht blindlings durchstarten.
Laß uns zunächst noch überlegen, wie die [mm] u,v\in \IR^2 [/mm] aussehen.
So: u:= [mm] \vektor{u_1 \\ u_2} [/mm] , v:= [mm] \vektor{v_1 \\ v_2}.
[/mm]
Und nun kann's beginnen.
Es ist [mm] f(u+v)=f(\vektor{u_1 \\ u_2}+ \vektor{v_1 \\ v_2})=...
[/mm]
jetzt addier' die beiden Vektoren, wende die Abbildung drauf an und vergleiche es mit f(u)+f(v).
Danach dann [mm] f(\lambda [/mm] u).
Gruß v. Angela
P.S.: Das [mm] \alpha \in \IR [/mm] ist keine Variable, sondern eine feste, wenn auch beliebige Zahl. Behandle es also so, als stünde dort eine Zahl.
Du wirst feststellen, daß die Abbildung nicht für jedes [mm] \alpha [/mm] linear ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Di 08.01.2008 | | Autor: | Lukas_G |
etwa so?
[mm] \phi\vektor{\lambda x+ \lambda y \\ \lambda x \\ \alpha}+ \phi\vektor{\mu x+ \mu y \\ \mu x \\ \alpha}
[/mm]
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> etwa so?
>
> [mm]\phi\vektor{\lambda x+ \lambda y \\ \lambda x \\ \alpha}+ \phi\vektor{\mu x+ \mu y \\ \mu x \\ \alpha}[/mm]
>
Hallo,
allein hierauf kann ich mir keinen Reim machen. Du hast da oben keine Aussage stehen, sondern einfach einen Term, von dem man nicht entscheiden kann, ob richtig oder falsch.
Ein paar mehr Anschläge auf der Tastatur solltest Du ruhig investieren. Hast Du eigentlich gelesen, was ich schrieb?
Mit "gelesen" meine ich: studiert. Überfliegen reicht nicht...
Was Du da oben stehen hast ist [mm] \phi(f(\lambda \vektor{x \\ y})+\phi(f(\mu \vektor{x \\ y}), [/mm] und ich weiß echt nicht, was das soll.
Ich hatte Dir die Definition für "lineare Abbildung" doch extra nochmal hingeschrieben.
Die ist jetzt anzuwenden, auf die Funktion f natürlich.
Wir haben hier doch gar keine keine Funktion [mm] \phi!!!
[/mm]
Das, was in der Def. [mm] \phi [/mm] genannt wird, heißt jetzt f.
Ich hatte Dir doch sogar den Anfang vorgemacht:
"Nun mußt Du zeigen (2.Variante):
Für alle u,v $ [mm] \in \IR^2 [/mm] $ und für alle $ [mm] \lambda \in \IR [/mm] $ gilt
i) f(u+v)=f(u)+f(v)
ii) $ [mm] f(\lambda u)=\lambda [/mm] $ u.
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Nun solltest Du nicht blindlings durchstarten.
Laß uns zunächst noch überlegen, wie die $ [mm] u,v\in \IR^2 [/mm] $ aussehen.
So: u:= $ [mm] \vektor{u_1 \\ u_2} [/mm] $ , v:= $ [mm] \vektor{v_1 \\ v_2}. [/mm] $
Und nun kann's beginnen.
Es ist $ [mm] f(u+v)=f(\vektor{u_1 \\ u_2}+ \vektor{v_1 \\ v_2})=... [/mm] $"
Am besten machst Du hier jetzt mal weiter.
Gruß v. Angela
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