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| Aufgabe | Sei Dim(V)< [mm] \infty. [/mm] Seien f,g: V [mm] \to [/mm] K linear mit [mm] f^{-1}(0)=f^{-1}(0).
[/mm]
Dann gibt es einen Skalar [mm] \alpha \inK [/mm] mit [mm] $\alpha [/mm] f=g$ |
hi leute,
hab diese aufgabe gestellt bekommen, sah am anfang ganz einfach aus, aber irgendwie bleib ich hängen.....
also mittels der dimensionsformel weiß ich ja, dass das dim(im(f)) und dim(im(g)) auch gleich sind, wie komm ich jetzt aber daruf, dass das eine bild in dem anderen enthalten ist.....
anschaulich ist das ja ganz klar (also anhand von beispielen) aber wie ich das allgemein machen soll, weiß ich nich....
wäre super wenn ihr mir da nen tipp geben könntet, danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 Sa 03.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei Dim(V)< [mm]\infty.[/mm] Seien f,g: V [mm]\to[/mm] K linear mit
> [mm]f^{-1}(0)=f^{-1}(0).[/mm]
> Dann gibt es einen Skalar [mm]\alpha \inK[/mm] mit [mm]\alpha f=g[/mm]
> hi
> leute,
> hab diese aufgabe gestellt bekommen, sah am anfang ganz
> einfach aus, aber irgendwie bleib ich hängen.....
>
> also mittels der dimensionsformel weiß ich ja, dass das
> dim(im(f)) und dim(im(g)) auch gleich sind, wie komm ich
> jetzt aber daruf, dass das eine bild in dem anderen
> enthalten ist.....
Hattet ihr schon den Homomorphiesatz? Damit geht es ziemlich elegant.
Ansonsten: Ist $f = 0$, so auch $g = 0$. Also sei ohne Einschraenkung $f [mm] \neq [/mm] 0 [mm] \neq [/mm] g$.
Nach der Dimensionsformel ist ja [mm] $\dim \ker [/mm] f = [mm] \dim \ker [/mm] g = [mm] \dim [/mm] V - 1$. Es gibt also eine Basis [mm] $(v_1, \dots, v_n)$ [/mm] von $V$ so, dass [mm] $(v_1, \dots, v_{n-1})$ [/mm] eine Basis von [mm] $\ker [/mm] f = [mm] \ker [/mm] g$ ist, und dass [mm] $f(v_n) \neq [/mm] 0 [mm] \neq g(v_n)$ [/mm] ist (warum?).
So. Kommst du jetzt weiter?
LG Felix
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warum ist denn dim(kern(f))=dim(kern(g))=dim(v)-1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:25 Sa 03.06.2006 | | Autor: | choosy |
> warum ist denn dim(kern(f))=dim(kern(g))=dim(v)-weil das bild Teilmenge [mm] $\IR$ [/mm] ist, also höchstens eindimensional.
sind f oder g die nullabbildung so ist die sache witzlos,
also kann man o.e. dim im f = dim im g = 1 annehmen.
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okay, sorry die frage eben war n bissl voreilöig, hätt ich auch selber draufkommen können, aber trotzdem ich komm da nich weiter, hab ne idee aber weiß nich ob die überhaupt sinn macht:
über die dimensionsformel für mengen gelang ich ja dazu das
dim( im(f) [mm] \cap [/mm] im(g))=1 , gilt das nur wenn alle f(v) für veV auch im bild von g enthalten sind??? oder andersrum
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:24 So 04.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> okay, sorry die frage eben war n bissl voreilöig, hätt ich
> auch selber draufkommen können, aber trotzdem ich komm da
> nich weiter, hab ne idee aber weiß nich ob die überhaupt
> sinn macht:
>
> über die dimensionsformel für mengen gelang ich ja dazu das
> dim( im(f) [mm]\cap[/mm] im(g))=1 , gilt das nur wenn alle f(v) für
> veV auch im bild von g enthalten sind??? oder andersrum
Die Homomorphismen gehen von $V$ nach $K$ (und $K$ ist eindimensional!) und die Bilder haben Dimension 1. Also sind $f$ und $g$ beide surjektiv. Und damit ist natuerlich $im [mm] \; [/mm] f = im [mm] \; [/mm] g$.
LG Felix
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sorry, ich hoff ich nerv nich, aber ich komm immer noch nicht weiter, also es ist mir schon klar, das die beiden bilder gleich sind (oder wie ich gesagt hab, das die elemente des einen auch in dem anderen enthalten sind), aber es geht mir darum wie ich da mathematisch rangehen soll, mit den dimensionssätzen oder wie, da komm ich aber halt nur bis zu dem punkt, das die dimensionjen übereinstimmen, was brauch ich denn noch, damit am ende dasteht $ [mm] \alpha [/mm] f=g$
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 So 04.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> sorry, ich hoff ich nerv nich, aber ich komm immer noch
> nicht weiter, also es ist mir schon klar, das die beiden
> bilder gleich sind (oder wie ich gesagt hab, das die
> elemente des einen auch in dem anderen enthalten sind),
> aber es geht mir darum wie ich da mathematisch rangehen
> soll, mit den dimensionssätzen oder wie, da komm ich aber
> halt nur bis zu dem punkt, das die dimensionjen
> übereinstimmen, was brauch ich denn noch, damit am ende
> dasteht [mm]\alpha f=g[/mm]
Hast du mal das mit der Basis versucht, was ich in meinem ersten Posting vorgeschlagen hab?
LG Felix
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erstmal vielen vielen dank für eure (v.a. felix') unterstützung, hab die aufgabe dadurch wirklich besser verstanden und mir auch gut nen kopf drüber gemacht: allerdings is es so, dass bei letzte woche die linavorlesung komplett ausgefallen ist, und wir trotzdem diese übungsblätter bekommen haben.
Hab deswegen sowieso das gefühl als würden mir sachen aus der vorlesung fehlen, die wir erst behandelt hätten (aber nicht haben)....
Da auf diesem blatt dann auch noch so ne ähnliche frage drauf ist hab ne wirklich dringende bitte:
könnte mir vielleicht jemand AUSNAHMSWEISE die lösung für die aufgabe posten......da wär ich wirlkich sehr verbunden
dank an alle
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Mo 05.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> erstmal vielen vielen dank für eure (v.a. felix')
> unterstützung, hab die aufgabe dadurch wirklich besser
> verstanden und mir auch gut nen kopf drüber gemacht:
> allerdings is es so, dass bei letzte woche die
> linavorlesung komplett ausgefallen ist, und wir trotzdem
> diese übungsblätter bekommen haben.
> Hab deswegen sowieso das gefühl als würden mir sachen aus
> der vorlesung fehlen, die wir erst behandelt hätten (aber
> nicht haben)....
> Da auf diesem blatt dann auch noch so ne ähnliche frage
> drauf ist hab ne wirklich dringende bitte:
>
> könnte mir vielleicht jemand AUSNAHMSWEISE die lösung für
> die aufgabe posten......da wär ich wirlkich sehr verbunden
Schreib doch erstmal deine bisherige Loesung auf (soweit du sie hast). Dann helfen wir dir weiter.
Den Basisergaenzungssatz werdet ihr doch sicher schon gehabt haben, oder? Und mehr braucht man fuer die Aufgabe nicht...
LG Felix
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okay, aber zuerst "basisergänzungssatz"??? den namen hab ich vielleicht schonmal in dem einen oder anderen buch kurz gelesen, aber in der vl kam das meiner meinung nach nicht.....
kern(f)=kern(g)
dim(v)=dim(bild(f))+dim(kern(f))
dim(v)=dim(bild(g))+dim(kern(g))
also, da k eindimensional ist (bem. stand nicht in der aufgabenstellung, aber ich nehm mal an, das k ein eindimensionaler körper sein soll):
dim(kern(f))=dim(kern(g))=dim(v) -1
so, bis hier komm ich, was du mit den basen gemeint hast in deinem ersten post versteh ich zwar, aber weiß trotzdem nicht wie ich das jetzt anwenden soll, um auf mein gewünschtes ergebnis [mm] $\alpha [/mm] f=g$ zu kommen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Mo 05.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> okay, aber zuerst "basisergänzungssatz"??? den namen hab
> ich vielleicht schonmal in dem einen oder anderen buch kurz
> gelesen, aber in der vl kam das meiner meinung nach
> nicht.....
Wenn du mal auf die Idee gekommen waerst, Google nach dem Basisergaenzungssatz zu fragen, dann wuesstest du was er besagt und koenntest nachgucken ob er bei euch vielleicht anders heisst.
Du brauchst hier folgenden Spezialfall: Ist $U [mm] \subseteq [/mm] V$ ein Untervektorraum und [mm] $\dim [/mm] V = n$, so gibt es eine Basis [mm] $(v_1, \dots, v_n)$ [/mm] von $V$ so, dass [mm] $(v_1, \dots, v_k)$ [/mm] eine Basis von $U$ ist, wobei $k = [mm] \dim [/mm] U$ ist.
> kern(f)=kern(g)
>
> dim(v)=dim(bild(f))+dim(kern(f))
> dim(v)=dim(bild(g))+dim(kern(g))
>
> also, da k eindimensional ist (bem. stand nicht in der
> aufgabenstellung, aber ich nehm mal an, das k ein
> eindimensionaler körper sein soll):
Ein Koerper $K$ ist als $K$-Vektorraum immer eindimensional.
> dim(kern(f))=dim(kern(g))=dim(v) -1
Wenn [mm] $\ker [/mm] f$ und [mm] $\ker [/mm] g$ nicht gerade ganz $V$ sind. (Klein- und Grossschreibung ist insbesondere in Formeln uebrigens wichtig: $v [mm] \neq [/mm] V$.)
> so, bis hier komm ich, was du mit den basen gemeint hast in
> deinem ersten post versteh ich zwar, aber weiß trotzdem
> nicht wie ich das jetzt anwenden soll, um auf mein
> gewünschtes ergebnis [mm]\alpha f=g[/mm] zu kommen...
Wenn du die Basis [mm] $(v_1, \dots, v_n)$ [/mm] wie in einem anderen Posting von mir beschrieben hast mit [mm] $f(v_1) [/mm] = [mm] \dots [/mm] = [mm] f(v_{n-1}) [/mm] = 0$ und [mm] $g(v_1) [/mm] = [mm] \dots [/mm] = [mm] g(v_{n-1}) [/mm] = 0$, und [mm] $f(v_n) \neq [/mm] 0 [mm] \neq g(v_n)$, [/mm] dann bist du doch schon fast fertig.
Wenn du einen beliebigen Vektor $v [mm] \in [/mm] V$ hast mit $v = [mm] \sum_{i=1}^n \lambda_i v_i$, [/mm] so ist $f(v) = [mm] f(\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n \lambda_i f(v_i) [/mm] = [mm] \lambda_n f(v_n)$. [/mm] Und ebenso $g(v) = [mm] \lambda_n g(v_n)$.
[/mm]
Jetzt solltest du aber sehen wie du die Aufgabe hinbekommst...
LG Felix
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okay, ich probiers.....aber bin mir nicht sicher, ob du das meinst:
$ f( [mm] v_{n} [/mm] ) [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \not= [/mm] g( [mm] v_{n} [/mm] )$
Daraus folgt: (???)
$ f( [mm] v_{n} [/mm] ) = [mm] \lambda_{n} [/mm] g( [mm] v_{n} [/mm] )$
und da
$ f(v) = [mm] \lambda_{n} [/mm] f( [mm] v_{n} [/mm] )$
$ g(v) = [mm] \lambda_{n} [/mm] g( [mm] v_{n} [/mm] )$
folgt:
$ f(v) [mm] \lambda^{-1} [/mm] = g(v)$, also
$ [mm] f(v)=\lambda [/mm] g(v)$
kommt mir komisch vor, aber ich hab sonst keine andere idee, wie ich die beiden abbildung in eine formel stecken kann
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 07.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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