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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Sa 21.11.2009 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für jedes $\ k [mm] \in \IN [/mm] $ die Abbildung $\ [mm] \varphi^k [/mm] : [mm] \mathcal{F}(\IN, \IR) \to \mathcal{F}(\IN, \IR), [/mm] \ [mm] (\varphi^k(a))_n [/mm] := [mm] a_{n+k} [/mm] $ linear ist.
Bestimmen Sie explizit den Kern von $\ [mm] \varphi^k [/mm] $ |
Hallo,
ich meine, gezeigt zu haben, dass $\ [mm] \varphi^k [/mm] $ eine lineare Abbildung ist.
Bin mir dessen aber nicht 100prozentig sicher.
Für eine lin. Abbildung $\ [mm] \varphi: [/mm] V [mm] \to [/mm] W $ gilt
L1: $\ [mm] \varphi(v+w) [/mm] = [mm] \varphi(v) [/mm] + [mm] \varphi(w) [/mm] $ für alle $\ v,w [mm] \in [/mm] V $
L2: $\ [mm] \varphi(\lambda [/mm] v) = [mm] \lambda \varphi(v) [/mm] $ mit $\ v [mm] \in [/mm] V $ und $\ [mm] \lambda \in \mathbb [/mm] K $
Allgemein gilt für $\ n [mm] \in \IN [/mm] $:
(i) $\ [mm] (a+b)_n [/mm] = [mm] a_n [/mm] + [mm] b_n [/mm] $
(ii) $\ [mm] (\lambda [/mm] a [mm] )_n [/mm] = [mm] \lambda a_n [/mm] $
Zu zeigen gilt, dass L1 und L2 für $\ [mm] \varphi^k [/mm] $ gelten:
Es ist $\ [mm] (\varphi^k(a+b))_n [/mm] = [mm] (a+b)_{n+k} \stackrel{\mathrm{(i)}}= a_{n+k} [/mm] + [mm] b_{n+k} [/mm] $
Nach L1 ist $\ [mm] (\varphi^k(a+b))_n [/mm] = [mm] (\varphi^k(a) +\varphi^k(b))_n \stackrel{\mathrm{(i)}}= (\varphi^k(a))_n [/mm] + [mm] (\varphi^k(b))_n [/mm] = [mm] a_{n+k} [/mm] + [mm] b_{n+k} [/mm] $
Es gilt also L1 für $\ [mm] \varphi^k [/mm] $
Zu zeigen ist nun noch L2:
Nach Definition ist $\ [mm] (\varphi^k(\lambda a))_n [/mm] = [mm] \lambda a_{n+k} \stackrel{\mathrm{(ii)}}= (\lambda [/mm] a [mm] )_{n+k} [/mm] $
Nach L2 ist $\ [mm] \varphi^k(\lambda [/mm] a) = [mm] \lambda \varphi^k(a) \gdw (\varphi^k(\lambda a))_n [/mm] = [mm] (\lambda \varphi^k(a))_n \stackrel{\mathrm{(ii)}}= \lambda(\varphi^k(a))_n [/mm] = [mm] \lambda a_{n+k} [/mm] $
L2 gilt für $\ [mm] \varphi^k [/mm] $ ebenfalls $\ [mm] \gdw [/mm] $ $\ [mm] \varphi^k [/mm] $ ist linear.
Stimmt das alles? Oder muss ich bei L2 auf die Skalarmultiplikation im Vektorraum so zurueckgreifen, dass
$\ [mm] (\lambda, [/mm] a) [mm] \mapsto \lambda [/mm] a [mm] \gdw \varphi(\lambda, [/mm] a) = [mm] \lambda [/mm] a [mm] \gdw \varphi^k(\lambda [/mm] a ) = [mm] \varphi^k(\psi(\lambda, [/mm] a)) $ gilt?
Zum Kern von $\ [mm] \varphi^k [/mm] $ :
Kern [mm] $\varphi^k [/mm] : [mm] \{ a \in \mathcal{F}(\IN, \IR) : (\varphi^k(a))_n = 0 \} \gdw \varphi^k [/mm] : [mm] \{ a \in \mathcal{F}(\IN, \IR) : a_{n+k} = 0 \} [/mm] $
Kann/soll ich hier konkreter Werden? Also explizit solche Glieder $\ [mm] a_{n+k} [/mm] $ nennen, die $\ 0 $ sind?
Würde mich freuen, wenn mir jemand Feedback geben würde.
Viele Grüße
ChopSuey
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Hallo ChopSuey,
nur eine Frage, dieses [mm] a_{n}, [/mm] ist das eine Folge, oder noch näher definiert? Weil sonst wirst du bei den Kern nicht konkreter werden können, oder?
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:54 Sa 21.11.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Moin Stefan,
bezüglich $\ [mm] a_n [/mm] $ habe ich leider keine weiteren Infos.
Das Einzige wäre vielleicht noch folgendes aus einer vorigen Aufgabe vom Blatt:
.....Eine Relle Folge ist dabei eine Funktion $\ a: [mm] \IN \to \IR [/mm] $. Für den Wert $\ a(n) $ schreibt man auch $\ [mm] a_n$. [/mm]
Mit $\ [mm] \mathcal [/mm] F [mm] (\IN, \IR)$ [/mm] bezeichnen wir die Menge aller reellen Folgen.
Ich glaube nur fast, dass das nicht mehr Preis gibt als die anderen Infos, oder?
Danke für Deine Mitteilung.
Viele Grüße
ChopSuey
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Hallo ChopSuey,
dann noch eine Frage zu deiner Abbildung. Sie lautet nach deinen Angaben,
[mm] $\varphi^k [/mm] : [mm] \mathcal{F}(\IN, \IR) \to \mathcal{F}(\IN, \IR), [/mm] \ [mm] (\varphi^k(a))_n [/mm] := [mm] a_{n+k}$,
[/mm]
aber könnte es nicht sein, dass du eigentlich
[mm] $\varphi^{k}(a_{n}) [/mm] = [mm] a_{n+k}$
[/mm]
meinst? Das fände ich viel logischer, weil: Was soll denn a sein?
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 Sa 21.11.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Stefan,
> Hallo ChopSuey,
>
> dann noch eine Frage zu deiner Abbildung. Sie lautet nach
> deinen Angaben,
>
> [mm]\varphi^k : \mathcal{F}(\IN, \IR) \to \mathcal{F}(\IN, \IR), \ (\varphi^k(a))_n := a_{n+k}[/mm],
>
> aber könnte es nicht sein, dass du eigentlich
>
> [mm]\varphi^{k}(a_{n}) = a_{n+k}[/mm]
>
> meinst? Das fände ich viel logischer, weil: Was soll denn
> a sein?
Ich bin froh, dass Du das anmerkst. Mir ging es nämlich genau so.
Das steht nur leider genau so auf meinem Blatt.
Das hat mich anfangs ebenfalls in die Irre geführt. Ich bin dann davon ausgegangen, dass $\ [mm] (\varphi^k(a))_n [/mm] $ einfach das Bild von $\ a $ ist.
Da sowohl Definitions- als auch Zielmenge beides Mengen von reellen Folgen sind, habe ich mir gedacht, dass einfach jedes Element aus einer dieser Menge, ganz gleich welche, ja keine Zahl o.ä. ist, sondern eine Folge.
Deswegen hat dann irgendwann $\ [mm] (\varphi^k(a))_n [/mm] $ ein wenig mehr Sinn gemacht für mich.
Sprich: Jedes Element aus der Definitionsmenge ist eine Folge und jedes Bild eines solchen Elements aus der Definitionsmenge ist wiederum eine Folge, eben die Folge des Bildes der Folge ..... haha  Wenn das überhaupt Sinn macht, was ich hier erzähl.
Das Aufgabenblatt kann man sich ansehen unter:
![[]](/images/popup.gif) Seite 2, Aufgabe H20 C) PDF-Datei 99.6 kb
Viele Grüße
ChopSuey
>
> Grüße,
> Stefan
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Hallo ChopSuey,
habe nochmal drüber nachgedacht.
Also es ist wirklich so, dass die Abbildung [mm] \varphi^{k} [/mm] folgendermaßen aussieht:
[mm] $\varphi^{k}:(a_{n})_{n\in\IN} \to (a_{n+k})_{n\in\IN}$
[/mm]
Zumindest würde ich das behaupten. Der Ausdruck
[mm] $(\varphi^{k}(a))_{n}$
[/mm]
ist meiner Meinung nach so zu verstehen: a ist ja nach Definition die Folge (Die Funktionsvorschrift [mm] a:\IN\to\IR [/mm] ). Man hätte also genauso gut statt a schreiben können [mm] (a_{n})_{n\in\IN}. [/mm] Und das n im Index von [mm] $(\varphi^{k}(a))_{n}$ [/mm] ist dann so zu verstehen, "die Folge, die bei Anwendung von [mm] \varphi [/mm] entsteht, deren n-tes Folgenglied, ist ... "
Grüße,
Stefan
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Hallo ChopSuey,
mit meinen in den anderen Posts etwas gestärkten Überzeugungen versuche ich mich jetzt mal an einer Antwort:
> Für eine lin. Abbildung [mm]\ \varphi: V \to W[/mm] gilt
>
> L1: [mm]\ \varphi(v+w) = \varphi(v) + \varphi(w)[/mm] für alle [mm]\ v,w \in V[/mm]
>
> L2: [mm]\ \varphi(\lambda v) = \lambda \varphi(v)[/mm] mit [mm]\ v \in V[/mm]
> und [mm]\ \lambda \in \mathbb K[/mm]
>
> Allgemein gilt für [mm]\ n \in \IN [/mm]:
>
> (i) [mm]\ (a+b)_n = a_n + b_n [/mm]
> (ii) [mm]\ (\lambda a )_n = \lambda a_n[/mm]
>
> Zu zeigen gilt, dass L1 und L2 für [mm]\ \varphi^k[/mm] gelten:
>
> Es ist [mm]\ (\varphi^k(a+b))_n = (a+b)_{n+k} \stackrel{\mathrm{(i)}}= a_{n+k} + b_{n+k}[/mm]
>
> Nach L1 ist [mm]\ (\varphi^k(a+b))_n = (\varphi^k(a) +\varphi^k(b))_n \stackrel{\mathrm{(i)}}= (\varphi^k(a))_n + (\varphi^k(b))_n = a_{n+k} + b_{n+k}[/mm]
>
> Es gilt also L1 für [mm]\ \varphi^k[/mm]
Es ist nicht besonders "elegant", was du hier machst. Soviel ich erkennen kann, rechnest du einmal aus, wie du mit den dir gegebenen Regeln [mm] \varphi^k(a+b))_n [/mm] umformen kannst, dann wendest du die Linearität von [mm] \varphi^{k} [/mm] an (die dir noch gar nicht gegeben ist!) und zeigst, dass dabei dasselbe rauskommt.
Du solltest es so machen (Der Grundgedanke bleibt natürlich derselbe, dahingehend hast du die Aufgabe schon richtig gelöst):
Wir nehmen deine erste Zeile:
[mm] $(\varphi^k(a+b))_n [/mm] = [mm] (a+b)_{n+k} \stackrel{\mathrm{(i)}}= a_{n+k} [/mm] + [mm] b_{n+k} [/mm] = [mm] (\varphi^k(a))_n [/mm] + [mm] (\varphi^k(b))_n$.
[/mm]
Damit ist L1 schon gezeigt 
> Zu zeigen ist nun noch L2:
>
> Nach Definition ist [mm]\ (\varphi^k(\lambda a))_n = \lambda a_{n+k} \stackrel{\mathrm{(ii)}}= (\lambda a )_{n+k}[/mm]
>
> Nach L2 ist [mm]\ \varphi^k(\lambda a) = \lambda \varphi^k(a) \gdw (\varphi^k(\lambda a))_n = (\lambda \varphi^k(a))_n \stackrel{\mathrm{(ii)}}= \lambda(\varphi^k(a))_n = \lambda a_{n+k} [/mm]
>
> L2 gilt für [mm]\ \varphi^k[/mm] ebenfalls [mm]\ \gdw[/mm] [mm]\ \varphi^k[/mm] ist
> linear.
Dasselbe Kommentar wie oben. Allerdings hast du hier dich auch noch ein wenig vertan in der ersten Zeile. Richtig wäre es so:
$ [mm] (\varphi^k(\lambda a))_n [/mm] = [mm] (\lambda a)_{n+k} \stackrel{\mathrm{(ii)}}= \lambda*a_{n+k} [/mm] = [mm] \lambda*(\varphi^k(a))_n$
[/mm]
Damit ist L2 gezeigt.
> Stimmt das alles? Oder muss ich bei L2 auf die
> Skalarmultiplikation im Vektorraum so zurueckgreifen, dass
>
> [mm]\ (\lambda, a) \mapsto \lambda a \gdw \varphi(\lambda, a) = \lambda a \gdw \varphi^k(\lambda a ) = \varphi^k(\psi(\lambda, a))[/mm]
> gilt?
??
Soviel ich sehen kann, befinden wir uns in [mm] \IR, [/mm] und in der Aufgabenstellung ist keine Rede von Vektorräumen. Also lass mal schön die Kirche im Dorf . Mit den Eigenschaften (i) und (ii) von Folgen hast du doch alles notwendige gegeben, was du brauchst.
> Zum Kern von [mm]\ \varphi^k[/mm] :
>
> Kern [mm]\varphi^k : \{ a \in \mathcal{F}(\IN, \IR) : (\varphi^k(a))_n = 0 \} \gdw \varphi^k : \{ a \in \mathcal{F}(\IN, \IR) : a_{n+k} = 0 \}[/mm]
>
> Kann/soll ich hier konkreter Werden? Also explizit solche
> Glieder [mm]\ a_{n+k}[/mm] nennen, die [mm]\ 0[/mm] sind?
Hier solltest du vor allem erstmal überlegen, was denn dieses ominöse Nullelement im Folgenraum überhaupt sein soll: Ich nehme an, es ist die Nullfolge [mm] (0)_{n\in\IN}. [/mm] Die Abbildung [mm] \varphi^{k} [/mm] verschiebt nun ja im Grunde nur die Folge um k Glieder, d.h. die ersten k Glieder der Folge werden abgeschnitten.
D.h.: Es entsteht genau dann eine Nullfolge bei Anwendung von [mm] \varphi^{k} [/mm] auf eine Folge a, wenn nur die ersten k Glieder von a von 0 verschieden waren (oder = 0, ist ja egal), und ab dem k+1-ten Glied alle Folgenelemente 0 sind.
Diese Folgen kannst du ja mal versuchen, konkret aufzuschreiben, dann hast du die Aufgabenstellung mit dem "explizit den Kern von [mm] \varphi^{k} [/mm] " bestimmen erfüllt.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:02 Sa 21.11.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Stefan,
>
> > Stimmt das alles? Oder muss ich bei L2 auf die
> > Skalarmultiplikation im Vektorraum so zurueckgreifen, dass
> >
> > [mm]\ (\lambda, a) \mapsto \lambda a \gdw \varphi(\lambda, a) = \lambda a \gdw \varphi^k(\lambda a ) = \varphi^k(\psi(\lambda, a))[/mm]
> > gilt?
>
> ??
> Soviel ich sehen kann, befinden wir uns in [mm]\IR,[/mm] und in der
> Aufgabenstellung ist keine Rede von Vektorräumen. Also
> lass mal schön die Kirche im Dorf . Mit den
> Eigenschaften (i) und (ii) von Folgen hast du doch alles
> notwendige gegeben, was du brauchst.
Ja, stimmt
>
> > Zum Kern von [mm]\ \varphi^k[/mm] :
> >
> > Kern [mm]\varphi^k : \{ a \in \mathcal{F}(\IN, \IR) : (\varphi^k(a))_n = 0 \} \gdw \varphi^k : \{ a \in \mathcal{F}(\IN, \IR) : a_{n+k} = 0 \}[/mm]
>
> >
> > Kann/soll ich hier konkreter Werden? Also explizit solche
> > Glieder [mm]\ a_{n+k}[/mm] nennen, die [mm]\ 0[/mm] sind?
>
> Hier solltest du vor allem erstmal überlegen, was denn
> dieses ominöse Nullelement im Folgenraum überhaupt sein
> soll: Ich nehme an, es ist die Nullfolge [mm](0)_{n\in\IN}.[/mm] Die
> Abbildung [mm]\varphi^{k}[/mm] verschiebt nun ja im Grunde nur die
> Folge um k Glieder, d.h. die ersten k Glieder der Folge
> werden abgeschnitten.
> D.h.: Es entsteht genau dann eine Nullfolge bei Anwendung
> von [mm]\varphi^{k}[/mm] auf eine Folge a, wenn nur die ersten k
> Glieder von a von 0 verschieden waren (oder = 0, ist ja
> egal), und ab dem k+1-ten Glied alle Folgenelemente 0
> sind.
>
> Diese Folgen kannst du ja mal versuchen, konkret
> aufzuschreiben, dann hast du die Aufgabenstellung mit dem
> "explizit den Kern von [mm]\varphi^{k}[/mm] " bestimmen erfüllt.
>
> Grüße,
> Stefan
Vielen Dank für Deine Hilfe! Hat mir sehr geholfen, das Feedback und die Korrektur ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Grüße
ChopSuey
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