Lineare Abbildung mit Koordina < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:07 Do 21.07.2011 | | Autor: | Marius6d |
| Aufgabe 1 | | Lineare Abbildung mit Koordinatentransformation |
| Aufgabe 2 | | Koordinatentransformation mit Abbildungsmatrix verknüpft |
Also, ich habe gerade wieder die Linearen Abbildungen und die Koordinatentransformationen repetiert.
Als Beispiel habe ich einen Vektor der um 45° im Gegenuhrzeiger sinn rotiert wird, die Abbildungsmatrix ist also:
A = [mm] \pmat{ \bruch{1}{\wurzel{2}} & -\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} }
[/mm]
Nun habe ich noch eine Koordinatentransformation auch um 45° im Gegenuhrzeigersinn.
T = [mm] \pmat{ \bruch{1}{\wurzel{2}} & -\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} }
[/mm]
und die Inverse davon [mm] T^{-1}=\pmat{ \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ -\bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} }
[/mm]
Nun müsste ja die Matrix welche die Lineare Abbildung und die Transformation verknüpft wie folgt sein:
B = [mm] T^{-1}*A*T
[/mm]
über diese Matrix müsste ja ein Vektor in den x Koordinaten und in den neuen Koordinaten genau die gleichen Werte habe, da ja die Abbildung und die Transformation genau gleich sind.
aber B ist ja : [mm] \pmat{ \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ -\bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} }
[/mm]
und eigentlich müsste es ja eine Diagonalmatrix sein! Kann mir jemand sagen wo der Überlegungsfehler liegt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:47 Do 21.07.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Lineare Abbildung mit Koordinatentransformation
> Koordinatentransformation mit Abbildungsmatrix verknüpft
>
> Also, ich habe gerade wieder die Linearen Abbildungen und
> die Koordinatentransformationen repetiert.
>
> Als Beispiel habe ich einen Vektor der um 45° im
> Gegenuhrzeiger sinn rotiert wird, die Abbildungsmatrix ist
> also:
>
> A = [mm]\pmat{ \bruch{1}{\wurzel{2}} & -\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} }[/mm]
>
> Nun habe ich noch eine Koordinatentransformation auch um
> 45° im Gegenuhrzeigersinn.
>
> T = [mm]\pmat{ \bruch{1}{\wurzel{2}} & -\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} }[/mm]
>
> und die Inverse davon [mm]T^{-1}=\pmat{ \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ -\bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} }[/mm]
>
> Nun müsste ja die Matrix welche die Lineare Abbildung und
> die Transformation verknüpft wie folgt sein:
>
> B = [mm]T^{-1}*A*T[/mm]
>
> über diese Matrix müsste ja ein Vektor in den x
> Koordinaten und in den neuen Koordinaten genau die gleichen
> Werte habe, da ja die Abbildung und die Transformation
> genau gleich sind.
>
> aber B ist ja : [mm]\pmat{ \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} \\ -\bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}} }[/mm]
>
> und eigentlich müsste es ja eine Diagonalmatrix sein! Kann
> mir jemand sagen wo der Überlegungsfehler liegt?
was ich gerade nur sehe ist, dass Deine Matrix [mm] $B\,$ [/mm] nicht korrekt ist.
Oben steht [mm] $A=T\,,$ [/mm] und es folgt bei Dir [mm] $(A^t=T^t=\;\,)A^{-1}=T^{-1}\,.$ [/mm] (Das hochgestellte [mm] $t\,$ [/mm] meint die Transponierte.) Daher ist
[mm] $$B=T^{-1}A T=T^{-1}TA=A\,.$$
[/mm]
Also [mm] $Bx=Ax\;\;(=Tx)$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR^2\,.$
[/mm]
Wieso [mm] $B\,$ [/mm] eine Diagonalmatrix sein sollte, verstehe ich ehrlich gesagt nicht. Du beschreibst ja eigentlich wieder die Abbildung [mm] $A\,$ [/mm] als Abbildung des [mm] $\IR^2$ [/mm] in sich mit der ursprünglichen Basis (wenn ich mich täusche, so verzeihe mir: Ich bin etwas müde...); auch, wenn Du da zwei "lineare Abbildungen, die jeweils einen Basiswechsel beschreiben", dazuschaltest.
(Was man ja eigentlich bei [mm] $T^{-1}AT$ [/mm] macht, ist, die Koordinaten eines Vektors bzgl. der neuen Basis erstmal in die alte Basis zu werfen, dann wendet man wie gewohnt die lineare Abbildung an, erhält ein Ergebnis bzgl. der alten Basis und beschreibt das wieder bzgl. der neuen Basis.)
Aber im Endeffekt steht da doch wieder [mm] $Bx=Ax\,,$ [/mm] und in beiden Seiten bzgl. der gleichen Basis...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 Fr 22.07.2011 | | Autor: | Marius6d |
Ah ok, habs verstanden, vielen Dank!
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