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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 Sa 05.06.2010 | | Autor: | Lyrn |
| Aufgabe | Auf "natürliche Weise" lässt sich der Polynomring [mm]K[t][/mm] als K-VR auffassen mit der Basis [mm]\{t_{0} := 1,t^{1},t^{2},...\}[/mm].
Für [mm]i=0, 1, 2,...[/mm] sei die lineare Abbildung [mm]\phi : K[t] \to K[/mm] definiert durch:
[mm] \phi_{i}(t^{j}):=\begin{cases} 1, & \mbox{für } i=j \\ 0, & \mbox{für } i\not=j \end{cases}
[/mm]
Man zeige:
1. [mm] \{\phi_{0}, \phi_{1}, \phi_{2},...\} [/mm] ist eine linear unabhängige Teilmenge des VRs [mm]K[t]^{\*}[/mm]
2. [mm] \{\phi_{0}, \phi_{1}, \phi_{2},...\} [/mm] ist keine Basis von [mm]K[t]^{\*}[/mm]
Hinweis: Betrachte die lineare Abbildung [mm] \phi [/mm] : K[t] [mm] \to [/mm] K def. durch [mm] \phi(t^{j}):=1 [/mm] f.a. j=0,1,2,... |
Hallo,
ich habe erstmal eine Frage zur Aufgabenstellung (i).
Erst einmal ist mir unklar, wie das j definiert ist.
Was ist mit [mm]K[t]^{\*}[/mm] gemeint?
Kann mir das jemand erklären?
Aber anscheinend steigt ja der Grad von t in jeder Abbildung an, also muss [mm] \{\phi_{0}, \phi_{1}, \phi_{2},...\} [/mm] doch eine linear unabhänige Teilmenge sein, da die Exponenten ja alle einen unterschiedlichen Grad haben oder?
Aber da bin ich mir nicht sicher, weil ich die Zuordnungsvorschrift für das t nicht verstanden habe.
Gruß
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> Auf "natürliche Weise" lässt sich der Polynomring [mm]K[t][/mm] als K-VR auffassen mit der Basis [mm]\{t_{0} := 1,t^{1},t^{2},...\}[/mm].
> Für [mm]i=0, 1, 2,...[/mm] sei die lineare Abbildung [mm]\phi : K[t] \to K[/mm] definiert durch:
> [mm]\phi_{i}(t^{j}):=\begin{cases} 1, & \mbox{für } i=j \\ 0, & \mbox{für } i\not=j \end{cases}[/mm]
>
> Man zeige:
> 1. [mm]\{\phi_{0}, \phi_{1}, \phi_{2},...\}[/mm] ist eine linear unabhängige Teilmenge des VRs [mm]K[t]^{\*}[/mm]
> 2. [mm]\{\phi_{0}, \phi_{1}, \phi_{2},...\}[/mm] ist keine Basis von [mm]K[t]^{\*}[/mm]
> Hinweis: Betrachte die lineare Abbildung [mm]\phi[/mm] : K[t] [mm]\to[/mm] K def. durch [mm]\phi(t^{j}):=1[/mm] f.a. j=0,1,2,...
> Hallo,
> ich habe erstmal eine Frage zur Aufgabenstellung (i).
> Erst einmal ist mir unklar, wie das j definiert ist.
> Was ist mit [mm]K[t]^{\*}[/mm] gemeint?
> Kann mir das jemand erklären?
Hallo,
K[t][mm] ^{\*} [/mm] ist der Dualraum zum VR K[t]. (Thema Dualraum und duale Basis nacharbeiten!)
Er enthält alle linearen Abbildungen aus dem K[t] in den K.
Zum Verständnis von [mm] \phi_i:
[/mm]
Die [mm] \phi_i [/mm] sind lin. Abbildungen K[t] in den K.
Lineare Abbildungen sind durch Angabe ihrer Werte auf einer Basis definiert - und dies wird in der Def. der [mm] \phi_i [/mm] getan.
Nun solltest Du die [mm] \phi_i [/mm] mal genauer unter die Lupe nehmen. Was tun diese Abbildungen?
Schreib doch z.B. mal die Def. von [mm] \phi_5 [/mm] hin.
Was tut [mm] \phi_5 [/mm] mit den Basisvektoren [mm] t^0, t^1, t^2, [/mm] ... ?
Was ist also beispielsweise [mm] \phi_5(7x^6+4x^5+x^2+8)?
[/mm]
Vielleicht fällt Dir dan nder Rest leichter.
Was ist denn zu zeigen, wenn Du zeigen willst, daß [mm] (\phi_0, \phi_1, \phi_2, \phi_3,...) [/mm] linear unabhängig ist?
Gruß v. Angela
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